Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76182 / 58519
↖ ↑ ↗
← N 18.919278°
E 29.240112°		 ← 288.93 m → N 18.919278°
E 29.242859°		 →
↑
288.86 m
↓
↑
288.86 m
↓
N 18.916680°
E 29.240112°		 ← 288.93 m →
83 460 m²		 N 18.916680°
E 29.242859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581226348876953 y=0.446468353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581226348876953 × 217)
    floor (0.581226348876953 × 131072)
    floor (76182.5)     		tx = 76182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446468353271484 × 217)
    floor (0.446468353271484 × 131072)
    floor (58519.5)     		ty = 58519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76182 / 58519 ti = "17/76182/58519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76182/58519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76182 ÷ 217
    76182 ÷ 131072     		x = 0.581222534179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58519 ÷ 217
    58519 ÷ 131072     		y = 0.446464538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581222534179688 × 2 - 1) × π
    0.162445068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.51033623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446464538574219 × 2 - 1) × π
    0.107070922851562 × 3.1415926535     		Φ = 0.336373224633934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51033623} λ = 0.51033623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.336373224633934))-π/2
    2×atan(1.39986139007994)-π/2
    2×0.95050001006625-π/2
    1.9010000201325-1.57079632675     		φ = 0.33020369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51033623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.240112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33020369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.919278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76182 KachelY 58519 0.51033623 0.33020369 29.240112 18.919278
    Oben rechts KachelX + 1 76183 KachelY 58519 0.51038417 0.33020369 29.242859 18.919278
    Unten links KachelX 76182 KachelY + 1 58520 0.51033623 0.33015835 29.240112 18.916680
    Unten rechts KachelX + 1 76183 KachelY + 1 58520 0.51038417 0.33015835 29.242859 18.916680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33020369-0.33015835) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dl = 288.861140000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33020369-0.33015835) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dr = 288.861140000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51033623-0.51038417) × cos(0.33020369) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945976319578923 × 6371000     		do = 288.925517430349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51033623-0.51038417) × cos(0.33015835) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945991019454181 × 6371000     		du = 288.930007150627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33020369)-sin(0.33015835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945976319578923-0.945991019454181)×R²
    abs(0.51038417-0.51033623)×1.46998752575955e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.46998752575955e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.46998752575955e-05×40589641000000     		ar = 83460.0028072368m²