Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76180 / 58540
↖ ↑ ↗
← N 18.864707°
E 29.234619°		 ← 289.02 m → N 18.864707°
E 29.237366°		 →
↑
288.99 m
↓
↑
288.99 m
↓
N 18.862108°
E 29.234619°		 ← 289.02 m →
83 524 m²		 N 18.862108°
E 29.237366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581211090087891 y=0.446628570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581211090087891 × 217)
    floor (0.581211090087891 × 131072)
    floor (76180.5)     		tx = 76180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446628570556641 × 217)
    floor (0.446628570556641 × 131072)
    floor (58540.5)     		ty = 58540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76180 / 58540 ti = "17/76180/58540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76180/58540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76180 ÷ 217
    76180 ÷ 131072     		x = 0.581207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58540 ÷ 217
    58540 ÷ 131072     		y = 0.446624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581207275390625 × 2 - 1) × π
    0.16241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51024036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446624755859375 × 2 - 1) × π
    0.10675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.335366549741913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51024036} λ = 0.51024036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335366549741913))-π/2
    2×atan(1.39845289383409)-π/2
    2×0.950023787118747-π/2
    1.90004757423749-1.57079632675     		φ = 0.32925125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51024036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.234619°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32925125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.864707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76180 KachelY 58540 0.51024036 0.32925125 29.234619 18.864707
    Oben rechts KachelX + 1 76181 KachelY 58540 0.51028830 0.32925125 29.237366 18.864707
    Unten links KachelX 76180 KachelY + 1 58541 0.51024036 0.32920589 29.234619 18.862108
    Unten rechts KachelX + 1 76181 KachelY + 1 58541 0.51028830 0.32920589 29.237366 18.862108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32925125-0.32920589) × R
    4.53599999999943e-05 × 6371000     		dl = 288.988559999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32925125-0.32920589) × R
    4.53599999999943e-05 × 6371000     		dr = 288.988559999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51024036-0.51028830) × cos(0.32925125) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.946284705535006 × 6371000     		do = 289.019706439191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51024036-0.51028830) × cos(0.32920589) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.946299371018427 × 6371000     		du = 289.024185655318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32925125)-sin(0.32920589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946284705535006-0.946299371018427)×R²
    abs(0.51028830-0.51024036)×1.46654834214388e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.46654834214388e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.46654834214388e-05×40589641000000     		ar = 83524.0360109389m²