Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7618 / 5167
↖ ↑ ↗
← N 55.191413°
W 12.612305°		 ← 1 394.68 m → N 55.191413°
W 12.590332°		 →
↑
1 394.93 m
↓
↑
1 394.93 m
↓
N 55.178868°
W 12.612305°		 ← 1 395.12 m →
1 945 783 m²		 N 55.178868°
W 12.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464996337890625 y=0.315399169921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464996337890625 × 214)
    floor (0.464996337890625 × 16384)
    floor (7618.5)     		tx = 7618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315399169921875 × 214)
    floor (0.315399169921875 × 16384)
    floor (5167.5)     		ty = 5167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7618 / 5167 ti = "14/7618/5167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7618/5167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7618 ÷ 214
    7618 ÷ 16384     		x = 0.4649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5167 ÷ 214
    5167 ÷ 16384     		y = 0.31536865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22012624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31536865234375 × 2 - 1) × π
    0.3692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.16007297080536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22012624} λ = -0.22012624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16007297080536))-π/2
    2×atan(3.19016605660937)-π/2
    2×1.26703409629879-π/2
    2.53406819259758-1.57079632675     		φ = 0.96327187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22012624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96327187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.191413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7618 KachelY 5167 -0.22012624 0.96327187 -12.612305 55.191413
    Oben rechts KachelX + 1 7619 KachelY 5167 -0.21974275 0.96327187 -12.590332 55.191413
    Unten links KachelX 7618 KachelY + 1 5168 -0.22012624 0.96305292 -12.612305 55.178868
    Unten rechts KachelX + 1 7619 KachelY + 1 5168 -0.21974275 0.96305292 -12.590332 55.178868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96327187-0.96305292) × R
    0.000218950000000051 × 6371000     		dl = 1394.93045000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96327187-0.96305292) × R
    0.000218950000000051 × 6371000     		dr = 1394.93045000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22012624--0.21974275) × cos(0.96327187) × R
    0.000383490000000014 × 0.570836632736807 × 6371000     		do = 1394.67650377642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22012624--0.21974275) × cos(0.96305292) × R
    0.000383490000000014 × 0.57101639094169 × 6371000     		du = 1395.11569168121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96327187)-sin(0.96305292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570836632736807-0.57101639094169)×R²
    abs(-0.21974275--0.22012624)×0.000179758204883251×R²
    0.000383490000000014×0.000179758204883251×6371000²
    0.000383490000000014×0.000179758204883251×40589641000000     		ar = 1945783.04908209m²