Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7618 / 5047
↖ ↑ ↗
← N 56.668302°
W 12.612305°		 ← 1 342.51 m → N 56.668302°
W 12.590332°		 →
↑
1 342.75 m
↓
↑
1 342.75 m
↓
N 56.656226°
W 12.612305°		 ← 1 342.94 m →
1 802 947 m²		 N 56.656226°
W 12.590332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464996337890625 y=0.308074951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464996337890625 × 214)
    floor (0.464996337890625 × 16384)
    floor (7618.5)     		tx = 7618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308074951171875 × 214)
    floor (0.308074951171875 × 16384)
    floor (5047.5)     		ty = 5047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7618 / 5047 ti = "14/7618/5047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7618/5047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7618 ÷ 214
    7618 ÷ 16384     		x = 0.4649658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5047 ÷ 214
    5047 ÷ 16384     		y = 0.30804443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4649658203125 × 2 - 1) × π
    -0.070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22012624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30804443359375 × 2 - 1) × π
    0.3839111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20609239444061
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22012624} λ = -0.22012624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20609239444061))-π/2
    2×atan(3.34040612677915)-π/2
    2×1.27992238975644-π/2
    2.55984477951288-1.57079632675     		φ = 0.98904845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22012624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98904845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.668302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7618 KachelY 5047 -0.22012624 0.98904845 -12.612305 56.668302
    Oben rechts KachelX + 1 7619 KachelY 5047 -0.21974275 0.98904845 -12.590332 56.668302
    Unten links KachelX 7618 KachelY + 1 5048 -0.22012624 0.98883769 -12.612305 56.656226
    Unten rechts KachelX + 1 7619 KachelY + 1 5048 -0.21974275 0.98883769 -12.590332 56.656226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98904845-0.98883769) × R
    0.000210759999999977 × 6371000     		dl = 1342.75195999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98904845-0.98883769) × R
    0.000210759999999977 × 6371000     		dr = 1342.75195999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22012624--0.21974275) × cos(0.98904845) × R
    0.000383490000000014 × 0.549485132576589 × 6371000     		do = 1342.51020279628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22012624--0.21974275) × cos(0.98883769) × R
    0.000383490000000014 × 0.549661211087751 × 6371000     		du = 1342.94040041896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98904845)-sin(0.98883769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549485132576589-0.549661211087751)×R²
    abs(-0.21974275--0.22012624)×0.000176078511162636×R²
    0.000383490000000014×0.000176078511162636×6371000²
    0.000383490000000014×0.000176078511162636×40589641000000     		ar = 1802947.03714853m²