Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76179 / 58713
↖ ↑ ↗
← N 18.414473°
E 29.231872°		 ← 289.79 m → N 18.414473°
E 29.234619°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
N 18.411867°
E 29.231872°		 ← 289.79 m →
83 967 m²		 N 18.411867°
E 29.234619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581203460693359 y=0.447948455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581203460693359 × 217)
    floor (0.581203460693359 × 131072)
    floor (76179.5)     		tx = 76179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447948455810547 × 217)
    floor (0.447948455810547 × 131072)
    floor (58713.5)     		ty = 58713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76179 / 58713 ti = "17/76179/58713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76179/58713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76179 ÷ 217
    76179 ÷ 131072     		x = 0.581199645996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58713 ÷ 217
    58713 ÷ 131072     		y = 0.447944641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581199645996094 × 2 - 1) × π
    0.162399291992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.51019242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447944641113281 × 2 - 1) × π
    0.104110717773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.327073466107643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51019242} λ = 0.51019242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.327073466107643))-π/2
    2×atan(1.38690336382947)-π/2
    2×0.946094752986127-π/2
    1.89218950597225-1.57079632675     		φ = 0.32139318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51019242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.231872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32139318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.414473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76179 KachelY 58713 0.51019242 0.32139318 29.231872 18.414473
    Oben rechts KachelX + 1 76180 KachelY 58713 0.51024036 0.32139318 29.234619 18.414473
    Unten links KachelX 76179 KachelY + 1 58714 0.51019242 0.32134770 29.231872 18.411867
    Unten rechts KachelX + 1 76180 KachelY + 1 58714 0.51024036 0.32134770 29.234619 18.411867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32139318-0.32134770) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dl = 289.753079999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32139318-0.32134770) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dr = 289.753079999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51019242-0.51024036) × cos(0.32139318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948796249173955 × 6371000     		do = 289.786796512989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51019242-0.51024036) × cos(0.32134770) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.948810614811253 × 6371000     		du = 289.791184148392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32139318)-sin(0.32134770))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948796249173955-0.948810614811253)×R²
    abs(0.51024036-0.51019242)×1.43656372986189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43656372986189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43656372986189e-05×40589641000000     		ar = 83967.2525128313m²