Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76178 / 55185
↖ ↑ ↗
← N 27.330295°
E 29.229126°		 ← 271.28 m → N 27.330295°
E 29.231872°		 →
↑
271.34 m
↓
↑
271.34 m
↓
N 27.327855°
E 29.229126°		 ← 271.28 m →
73 609 m²		 N 27.327855°
E 29.231872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581195831298828 y=0.421031951904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581195831298828 × 217)
    floor (0.581195831298828 × 131072)
    floor (76178.5)     		tx = 76178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421031951904297 × 217)
    floor (0.421031951904297 × 131072)
    floor (55185.5)     		ty = 55185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76178 / 55185 ti = "17/76178/55185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76178/55185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76178 ÷ 217
    76178 ÷ 131072     		x = 0.581192016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55185 ÷ 217
    55185 ÷ 131072     		y = 0.421028137207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581192016601562 × 2 - 1) × π
    0.162384033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.51014449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421028137207031 × 2 - 1) × π
    0.157943725585938 × 3.1415926535     		Φ = 0.496194847967201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51014449} λ = 0.51014449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496194847967201))-π/2
    2×atan(1.64245955654795)-π/2
    2×1.02389998152039-π/2
    2.04779996304078-1.57079632675     		φ = 0.47700364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51014449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.229126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47700364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.330295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76178 KachelY 55185 0.51014449 0.47700364 29.229126 27.330295
    Oben rechts KachelX + 1 76179 KachelY 55185 0.51019242 0.47700364 29.231872 27.330295
    Unten links KachelX 76178 KachelY + 1 55186 0.51014449 0.47696105 29.229126 27.327855
    Unten rechts KachelX + 1 76179 KachelY + 1 55186 0.51019242 0.47696105 29.231872 27.327855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47700364-0.47696105) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dl = 271.340890000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47700364-0.47696105) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dr = 271.340890000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51014449-0.51019242) × cos(0.47700364) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888374595565194 × 6371000     		do = 271.275869902383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51014449-0.51019242) × cos(0.47696105) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888394148652609 × 6371000     		du = 271.281840672848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47700364)-sin(0.47696105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888374595565194-0.888394148652609)×R²
    abs(0.51019242-0.51014449)×1.95530874146366e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95530874146366e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95530874146366e-05×40589641000000     		ar = 73609.0460431186m²