Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76177 / 58542
↖ ↑ ↗
← N 18.859509°
E 29.226379°		 ← 289.03 m → N 18.859509°
E 29.229126°		 →
↑
288.99 m
↓
↑
288.99 m
↓
N 18.856910°
E 29.226379°		 ← 289.03 m →
83 527 m²		 N 18.856910°
E 29.229126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581188201904297 y=0.446643829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581188201904297 × 217)
    floor (0.581188201904297 × 131072)
    floor (76177.5)     		tx = 76177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446643829345703 × 217)
    floor (0.446643829345703 × 131072)
    floor (58542.5)     		ty = 58542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76177 / 58542 ti = "17/76177/58542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76177/58542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76177 ÷ 217
    76177 ÷ 131072     		x = 0.581184387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58542 ÷ 217
    58542 ÷ 131072     		y = 0.446640014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581184387207031 × 2 - 1) × π
    0.162368774414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51009655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446640014648438 × 2 - 1) × π
    0.106719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.335270675942673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51009655} λ = 0.51009655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335270675942673))-π/2
    2×atan(1.39831882526904)-π/2
    2×0.949978424460726-π/2
    1.89995684892145-1.57079632675     		φ = 0.32916052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51009655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.226379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32916052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.859509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76177 KachelY 58542 0.51009655 0.32916052 29.226379 18.859509
    Oben rechts KachelX + 1 76178 KachelY 58542 0.51014449 0.32916052 29.229126 18.859509
    Unten links KachelX 76177 KachelY + 1 58543 0.51009655 0.32911516 29.226379 18.856910
    Unten rechts KachelX + 1 76178 KachelY + 1 58543 0.51014449 0.32911516 29.229126 18.856910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32916052-0.32911516) × R
    4.53599999999943e-05 × 6371000     		dl = 288.988559999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32916052-0.32911516) × R
    4.53599999999943e-05 × 6371000     		dr = 288.988559999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51009655-0.51014449) × cos(0.32916052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946314037787297 × 6371000     		do = 289.028665263384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51009655-0.51014449) × cos(0.32911516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946328699376181 × 6371000     		du = 289.033143290018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32916052)-sin(0.32911516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946314037787297-0.946328699376181)×R²
    abs(0.51014449-0.51009655)×1.46615888840795e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46615888840795e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46615888840795e-05×40589641000000     		ar = 83526.6248367076m²