Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76177 / 55188
↖ ↑ ↗
← N 27.322975°
E 29.226379°		 ← 271.35 m → N 27.322975°
E 29.229126°		 →
↑
271.28 m
↓
↑
271.28 m
↓
N 27.320535°
E 29.226379°		 ← 271.36 m →
73 612 m²		 N 27.320535°
E 29.229126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581188201904297 y=0.421054840087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581188201904297 × 217)
    floor (0.581188201904297 × 131072)
    floor (76177.5)     		tx = 76177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421054840087891 × 217)
    floor (0.421054840087891 × 131072)
    floor (55188.5)     		ty = 55188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76177 / 55188 ti = "17/76177/55188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76177/55188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76177 ÷ 217
    76177 ÷ 131072     		x = 0.581184387207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55188 ÷ 217
    55188 ÷ 131072     		y = 0.421051025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581184387207031 × 2 - 1) × π
    0.162368774414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.51009655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421051025390625 × 2 - 1) × π
    0.15789794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.496051037268341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51009655} λ = 0.51009655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496051037268341))-π/2
    2×atan(1.64222337027473)-π/2
    2×1.02383610052583-π/2
    2.04767220105166-1.57079632675     		φ = 0.47687587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51009655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.226379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47687587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.322975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76177 KachelY 55188 0.51009655 0.47687587 29.226379 27.322975
    Oben rechts KachelX + 1 76178 KachelY 55188 0.51014449 0.47687587 29.229126 27.322975
    Unten links KachelX 76177 KachelY + 1 55189 0.51009655 0.47683329 29.226379 27.320535
    Unten rechts KachelX + 1 76178 KachelY + 1 55189 0.51014449 0.47683329 29.229126 27.320535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47687587-0.47683329) × R
    4.25799999999588e-05 × 6371000     		dl = 271.277179999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47687587-0.47683329) × R
    4.25799999999588e-05 × 6371000     		dr = 271.277179999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51009655-0.51014449) × cos(0.47687587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888433249993007 × 6371000     		do = 271.350382819541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51009655-0.51014449) × cos(0.47683329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888452793656239 × 6371000     		du = 271.356351957346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47687587)-sin(0.47683329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888433249993007-0.888452793656239)×R²
    abs(0.51014449-0.51009655)×1.95436632322021e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95436632322021e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95436632322021e-05×40589641000000     		ar = 73611.9762996772m²