Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76174 / 58541
↖ ↑ ↗
← N 18.862108°
E 29.218140°		 ← 289.02 m → N 18.862108°
E 29.220887°		 →
↑
289.05 m
↓
↑
289.05 m
↓
N 18.859509°
E 29.218140°		 ← 289.03 m →
83 544 m²		 N 18.859509°
E 29.220887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581165313720703 y=0.446636199951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581165313720703 × 217)
    floor (0.581165313720703 × 131072)
    floor (76174.5)     		tx = 76174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446636199951172 × 217)
    floor (0.446636199951172 × 131072)
    floor (58541.5)     		ty = 58541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76174 / 58541 ti = "17/76174/58541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76174/58541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76174 ÷ 217
    76174 ÷ 131072     		x = 0.581161499023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58541 ÷ 217
    58541 ÷ 131072     		y = 0.446632385253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581161499023438 × 2 - 1) × π
    0.162322998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50995274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446632385253906 × 2 - 1) × π
    0.106735229492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.335318612842293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50995274} λ = 0.50995274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.335318612842293))-π/2
    2×atan(1.39838585794486)-π/2
    2×0.950001105965489-π/2
    1.90000221193098-1.57079632675     		φ = 0.32920589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50995274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.218140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32920589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.862108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76174 KachelY 58541 0.50995274 0.32920589 29.218140 18.862108
    Oben rechts KachelX + 1 76175 KachelY 58541 0.51000068 0.32920589 29.220887 18.862108
    Unten links KachelX 76174 KachelY + 1 58542 0.50995274 0.32916052 29.218140 18.859509
    Unten rechts KachelX + 1 76175 KachelY + 1 58542 0.51000068 0.32916052 29.220887 18.859509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32920589-0.32916052) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dl = 289.05226999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32920589-0.32916052) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dr = 289.05226999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50995274-0.51000068) × cos(0.32920589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946299371018427 × 6371000     		do = 289.024185654648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50995274-0.51000068) × cos(0.32916052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.946314037787297 × 6371000     		du = 289.028665263384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32920589)-sin(0.32916052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946299371018427-0.946314037787297)×R²
    abs(0.51000068-0.50995274)×1.46667688697422e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46667688697422e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46667688697422e-05×40589641000000     		ar = 83543.7443832362m²