Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76172 / 61844
↖ ↑ ↗
← N 10.087854°
E 29.212646°		 ← 300.70 m → N 10.087854°
E 29.215393°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
N 10.085150°
E 29.212646°		 ← 300.71 m →
90 406 m²		 N 10.085150°
E 29.215393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581150054931641 y=0.471836090087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581150054931641 × 217)
    floor (0.581150054931641 × 131072)
    floor (76172.5)     		tx = 76172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471836090087891 × 217)
    floor (0.471836090087891 × 131072)
    floor (61844.5)     		ty = 61844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76172 / 61844 ti = "17/76172/61844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76172/61844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76172 ÷ 217
    76172 ÷ 131072     		x = 0.581146240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61844 ÷ 217
    61844 ÷ 131072     		y = 0.471832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581146240234375 × 2 - 1) × π
    0.16229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50985686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471832275390625 × 2 - 1) × π
    0.05633544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.176983033397247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50985686} λ = 0.50985686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.176983033397247))-π/2
    2×atan(1.19361084143435)-π/2
    2×0.873431295196949-π/2
    1.7468625903939-1.57079632675     		φ = 0.17606626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50985686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.212646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17606626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.087854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76172 KachelY 61844 0.50985686 0.17606626 29.212646 10.087854
    Oben rechts KachelX + 1 76173 KachelY 61844 0.50990480 0.17606626 29.215393 10.087854
    Unten links KachelX 76172 KachelY + 1 61845 0.50985686 0.17601907 29.212646 10.085150
    Unten rechts KachelX + 1 76173 KachelY + 1 61845 0.50990480 0.17601907 29.215393 10.085150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17606626-0.17601907) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17606626-0.17601907) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50985686-0.50990480) × cos(0.17606626) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.984540334624457 × 6371000     		do = 300.703960263022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50985686-0.50990480) × cos(0.17601907) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.98454859923485 × 6371000     		du = 300.706484487767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17606626)-sin(0.17601907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984540334624457-0.98454859923485)×R²
    abs(0.50990480-0.50985686)×8.26461039304949e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.26461039304949e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.26461039304949e-06×40589641000000     		ar = 90406.2703538157m²