Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76171 / 61817
↖ ↑ ↗
← N 10.160857°
E 29.209900°		 ← 300.57 m → N 10.160857°
E 29.212646°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
N 10.158153°
E 29.209900°		 ← 300.58 m →
90 367 m²		 N 10.158153°
E 29.212646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581142425537109 y=0.471630096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581142425537109 × 217)
    floor (0.581142425537109 × 131072)
    floor (76171.5)     		tx = 76171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471630096435547 × 217)
    floor (0.471630096435547 × 131072)
    floor (61817.5)     		ty = 61817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76171 / 61817 ti = "17/76171/61817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76171/61817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76171 ÷ 217
    76171 ÷ 131072     		x = 0.581138610839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61817 ÷ 217
    61817 ÷ 131072     		y = 0.471626281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581138610839844 × 2 - 1) × π
    0.162277221679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.50980893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471626281738281 × 2 - 1) × π
    0.0567474365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.178277329686989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50980893} λ = 0.50980893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.178277329686989))-π/2
    2×atan(1.19515672771945)-π/2
    2×0.874068366258477-π/2
    1.74813673251695-1.57079632675     		φ = 0.17734041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50980893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.209900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17734041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.160857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76171 KachelY 61817 0.50980893 0.17734041 29.209900 10.160857
    Oben rechts KachelX + 1 76172 KachelY 61817 0.50985686 0.17734041 29.212646 10.160857
    Unten links KachelX 76171 KachelY + 1 61818 0.50980893 0.17729322 29.209900 10.158153
    Unten rechts KachelX + 1 76172 KachelY + 1 61818 0.50985686 0.17729322 29.212646 10.158153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17734041-0.17729322) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17734041-0.17729322) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50980893-0.50985686) × cos(0.17734041) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.984316357922712 × 6371000     		do = 300.572841216974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50980893-0.50985686) × cos(0.17729322) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.984324681724222 × 6371000     		du = 300.5753829899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17734041)-sin(0.17729322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984316357922712-0.984324681724222)×R²
    abs(0.50985686-0.50980893)×8.32380150994627e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.32380150994627e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.32380150994627e-06×40589641000000     		ar = 90366.8523796681m²