Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76171 / 58715
↖ ↑ ↗
← N 18.409261°
E 29.209900°		 ← 289.74 m → N 18.409261°
E 29.212646°		 →
↑
289.75 m
↓
↑
289.75 m
↓
N 18.406655°
E 29.209900°		 ← 289.74 m →
83 952 m²		 N 18.406655°
E 29.212646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581142425537109 y=0.447963714599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581142425537109 × 217)
    floor (0.581142425537109 × 131072)
    floor (76171.5)     		tx = 76171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.447963714599609 × 217)
    floor (0.447963714599609 × 131072)
    floor (58715.5)     		ty = 58715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76171 / 58715 ti = "17/76171/58715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76171/58715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76171 ÷ 217
    76171 ÷ 131072     		x = 0.581138610839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58715 ÷ 217
    58715 ÷ 131072     		y = 0.447959899902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581138610839844 × 2 - 1) × π
    0.162277221679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.50980893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447959899902344 × 2 - 1) × π
    0.104080200195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.326977592308403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50980893} λ = 0.50980893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.326977592308403))-π/2
    2×atan(1.38677040250865)-π/2
    2×0.946049269946887-π/2
    1.89209853989377-1.57079632675     		φ = 0.32130221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50980893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.209900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32130221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.409261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76171 KachelY 58715 0.50980893 0.32130221 29.209900 18.409261
    Oben rechts KachelX + 1 76172 KachelY 58715 0.50985686 0.32130221 29.212646 18.409261
    Unten links KachelX 76171 KachelY + 1 58716 0.50980893 0.32125673 29.209900 18.406655
    Unten rechts KachelX + 1 76172 KachelY + 1 58716 0.50985686 0.32125673 29.212646 18.406655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32130221-0.32125673) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dl = 289.753079999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32130221-0.32125673) × R
    4.54799999999866e-05 × 6371000     		dr = 289.753079999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50980893-0.50985686) × cos(0.32130221) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.948824981644027 × 6371000     		do = 289.735122509039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50980893-0.50985686) × cos(0.32125673) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.948839343355767 × 6371000     		du = 289.73950803049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32130221)-sin(0.32125673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948824981644027-0.948839343355767)×R²
    abs(0.50985686-0.50980893)×1.4361711739963e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.4361711739963e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.4361711739963e-05×40589641000000     		ar = 83952.2795047121m²