Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76171 / 54606
↖ ↑ ↗
← N 28.733947°
E 29.209900°		 ← 267.76 m → N 28.733947°
E 29.212646°		 →
↑
267.84 m
↓
↑
267.84 m
↓
N 28.731539°
E 29.209900°		 ← 267.77 m →
71 717 m²		 N 28.731539°
E 29.212646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581142425537109 y=0.416614532470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581142425537109 × 217)
    floor (0.581142425537109 × 131072)
    floor (76171.5)     		tx = 76171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416614532470703 × 217)
    floor (0.416614532470703 × 131072)
    floor (54606.5)     		ty = 54606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76171 / 54606 ti = "17/76171/54606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76171/54606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76171 ÷ 217
    76171 ÷ 131072     		x = 0.581138610839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54606 ÷ 217
    54606 ÷ 131072     		y = 0.416610717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581138610839844 × 2 - 1) × π
    0.162277221679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.50980893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416610717773438 × 2 - 1) × π
    0.166778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.523950312847214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50980893} λ = 0.50980893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523950312847214))-π/2
    2×atan(1.68868532642808)-π/2
    2×1.03614915746579-π/2
    2.07229831493157-1.57079632675     		φ = 0.50150199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50980893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.209900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50150199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.733947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76171 KachelY 54606 0.50980893 0.50150199 29.209900 28.733947
    Oben rechts KachelX + 1 76172 KachelY 54606 0.50985686 0.50150199 29.212646 28.733947
    Unten links KachelX 76171 KachelY + 1 54607 0.50980893 0.50145995 29.209900 28.731539
    Unten rechts KachelX + 1 76172 KachelY + 1 54607 0.50985686 0.50145995 29.212646 28.731539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50150199-0.50145995) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dl = 267.83683999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50150199-0.50145995) × R
    4.20399999999654e-05 × 6371000     		dr = 267.83683999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50980893-0.50985686) × cos(0.50150199) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.876861479894879 × 6371000     		do = 267.760201529048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50980893-0.50985686) × cos(0.50145995) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.876881689560669 × 6371000     		du = 267.766372793619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50150199)-sin(0.50145995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876861479894879-0.876881689560669)×R²
    abs(0.50985686-0.50980893)×2.02096657904161e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.02096657904161e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.02096657904161e-05×40589641000000     		ar = 71716.8727118125m²