Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76170 / 58498
↖ ↑ ↗
← N 18.973831°
E 29.207153°		 ← 288.83 m → N 18.973831°
E 29.209900°		 →
↑
288.80 m
↓
↑
288.80 m
↓
N 18.971234°
E 29.207153°		 ← 288.84 m →
83 414 m²		 N 18.971234°
E 29.209900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581134796142578 y=0.446308135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581134796142578 × 217)
    floor (0.581134796142578 × 131072)
    floor (76170.5)     		tx = 76170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446308135986328 × 217)
    floor (0.446308135986328 × 131072)
    floor (58498.5)     		ty = 58498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76170 / 58498 ti = "17/76170/58498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76170/58498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76170 ÷ 217
    76170 ÷ 131072     		x = 0.581130981445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58498 ÷ 217
    58498 ÷ 131072     		y = 0.446304321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581130981445312 × 2 - 1) × π
    0.162261962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50976099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446304321289062 × 2 - 1) × π
    0.107391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.337379899525955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50976099} λ = 0.50976099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337379899525955))-π/2
    2×atan(1.40127130493752)-π/2
    2×0.950976077600001-π/2
    1.9019521552-1.57079632675     		φ = 0.33115583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50976099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.207153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33115583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.973831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76170 KachelY 58498 0.50976099 0.33115583 29.207153 18.973831
    Oben rechts KachelX + 1 76171 KachelY 58498 0.50980893 0.33115583 29.209900 18.973831
    Unten links KachelX 76170 KachelY + 1 58499 0.50976099 0.33111050 29.207153 18.971234
    Unten rechts KachelX + 1 76171 KachelY + 1 58499 0.50980893 0.33111050 29.209900 18.971234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33115583-0.33111050) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dl = 288.797430000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33115583-0.33111050) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dr = 288.797430000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50976099-0.50980893) × cos(0.33115583) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945667173029023 × 6371000     		do = 288.831096116577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50976099-0.50980893) × cos(0.33111050) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945681910484819 × 6371000     		du = 288.835597314919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33115583)-sin(0.33111050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945667173029023-0.945681910484819)×R²
    abs(0.50980893-0.50976099)×1.47374557952773e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.47374557952773e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.47374557952773e-05×40589641000000     		ar = 83414.3282440706m²