Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76169 / 58503
↖ ↑ ↗
← N 18.960844°
E 29.204407°		 ← 288.85 m → N 18.960844°
E 29.207153°		 →
↑
288.86 m
↓
↑
288.86 m
↓
N 18.958246°
E 29.204407°		 ← 288.86 m →
83 439 m²		 N 18.958246°
E 29.207153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581127166748047 y=0.446346282958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581127166748047 × 217)
    floor (0.581127166748047 × 131072)
    floor (76169.5)     		tx = 76169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446346282958984 × 217)
    floor (0.446346282958984 × 131072)
    floor (58503.5)     		ty = 58503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76169 / 58503 ti = "17/76169/58503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76169/58503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76169 ÷ 217
    76169 ÷ 131072     		x = 0.581123352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58503 ÷ 217
    58503 ÷ 131072     		y = 0.446342468261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581123352050781 × 2 - 1) × π
    0.162246704101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.50971305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446342468261719 × 2 - 1) × π
    0.107315063476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.337140215027855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50971305} λ = 0.50971305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337140215027855))-π/2
    2×atan(1.40093548217546)-π/2
    2×0.950862742303981-π/2
    1.90172548460796-1.57079632675     		φ = 0.33092916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50971305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.204407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33092916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.960844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76169 KachelY 58503 0.50971305 0.33092916 29.204407 18.960844
    Oben rechts KachelX + 1 76170 KachelY 58503 0.50976099 0.33092916 29.207153 18.960844
    Unten links KachelX 76169 KachelY + 1 58504 0.50971305 0.33088382 29.204407 18.958246
    Unten rechts KachelX + 1 76170 KachelY + 1 58504 0.50976099 0.33088382 29.207153 18.958246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33092916-0.33088382) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dl = 288.861140000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33092916-0.33088382) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dr = 288.861140000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50971305-0.50976099) × cos(0.33092916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94574084737418 × 6371000     		do = 288.853598157296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50971305-0.50976099) × cos(0.33088382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945755578361627 × 6371000     		du = 288.858097380038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33092916)-sin(0.33088382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94574084737418-0.945755578361627)×R²
    abs(0.50976099-0.50971305)×1.473098744742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.473098744742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.473098744742e-05×40589641000000     		ar = 83439.2294964689m²