Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76169 / 58495
↖ ↑ ↗
← N 18.981623°
E 29.204407°		 ← 288.82 m → N 18.981623°
E 29.207153°		 →
↑
288.80 m
↓
↑
288.80 m
↓
N 18.979026°
E 29.204407°		 ← 288.82 m →
83 410 m²		 N 18.979026°
E 29.207153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581127166748047 y=0.446285247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581127166748047 × 217)
    floor (0.581127166748047 × 131072)
    floor (76169.5)     		tx = 76169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446285247802734 × 217)
    floor (0.446285247802734 × 131072)
    floor (58495.5)     		ty = 58495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76169 / 58495 ti = "17/76169/58495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76169/58495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76169 ÷ 217
    76169 ÷ 131072     		x = 0.581123352050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58495 ÷ 217
    58495 ÷ 131072     		y = 0.446281433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581123352050781 × 2 - 1) × π
    0.162246704101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.50971305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446281433105469 × 2 - 1) × π
    0.107437133789062 × 3.1415926535     		Φ = 0.337523710224815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50971305} λ = 0.50971305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337523710224815))-π/2
    2×atan(1.40147283723408)-π/2
    2×0.951044074538635-π/2
    1.90208814907727-1.57079632675     		φ = 0.33129182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50971305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.204407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33129182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.981623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76169 KachelY 58495 0.50971305 0.33129182 29.204407 18.981623
    Oben rechts KachelX + 1 76170 KachelY 58495 0.50976099 0.33129182 29.207153 18.981623
    Unten links KachelX 76169 KachelY + 1 58496 0.50971305 0.33124649 29.204407 18.979026
    Unten rechts KachelX + 1 76170 KachelY + 1 58496 0.50976099 0.33124649 29.207153 18.979026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33129182-0.33124649) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dl = 288.797430000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33129182-0.33124649) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dr = 288.797430000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50971305-0.50976099) × cos(0.33129182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945622949002767 × 6371000     		do = 288.817588959963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50971305-0.50976099) × cos(0.33124649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945637692287967 × 6371000     		du = 288.822091938755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33129182)-sin(0.33124649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945622949002767-0.945637692287967)×R²
    abs(0.50976099-0.50971305)×1.47432852004581e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47432852004581e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47432852004581e-05×40589641000000     		ar = 83410.4276690694m²