Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76165 / 61836
↖ ↑ ↗
← N 10.109486°
E 29.193421°		 ← 300.62 m → N 10.109486°
E 29.196167°		 →
↑
300.71 m
↓
↑
300.71 m
↓
N 10.106782°
E 29.193421°		 ← 300.62 m →
90 400 m²		 N 10.106782°
E 29.196167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581096649169922 y=0.471775054931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581096649169922 × 217)
    floor (0.581096649169922 × 131072)
    floor (76165.5)     		tx = 76165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471775054931641 × 217)
    floor (0.471775054931641 × 131072)
    floor (61836.5)     		ty = 61836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76165 / 61836 ti = "17/76165/61836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76165/61836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76165 ÷ 217
    76165 ÷ 131072     		x = 0.581092834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61836 ÷ 217
    61836 ÷ 131072     		y = 0.471771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581092834472656 × 2 - 1) × π
    0.162185668945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.50952131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471771240234375 × 2 - 1) × π
    0.05645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.177366528594208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50952131} λ = 0.50952131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177366528594208))-π/2
    2×atan(1.19406867324162)-π/2
    2×0.873620072096758-π/2
    1.74724014419352-1.57079632675     		φ = 0.17644382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50952131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.193421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17644382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.109486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76165 KachelY 61836 0.50952131 0.17644382 29.193421 10.109486
    Oben rechts KachelX + 1 76166 KachelY 61836 0.50956924 0.17644382 29.196167 10.109486
    Unten links KachelX 76165 KachelY + 1 61837 0.50952131 0.17639662 29.193421 10.106782
    Unten rechts KachelX + 1 76166 KachelY + 1 61837 0.50956924 0.17639662 29.196167 10.106782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17644382-0.17639662) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dl = 300.711199999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17644382-0.17639662) × R
    4.71999999999972e-05 × 6371000     		dr = 300.711199999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50952131-0.50956924) × cos(0.17644382) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.984474131792786 × 6371000     		do = 300.621019366917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50952131-0.50956924) × cos(0.17639662) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.984482415699107 × 6371000     		du = 300.623548957367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17644382)-sin(0.17639662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984474131792786-0.984482415699107)×R²
    abs(0.50956924-0.50952131)×8.28390632057197e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.28390632057197e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.28390632057197e-06×40589641000000     		ar = 90400.4878339106m²