Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76165 / 61819
↖ ↑ ↗
← N 10.155449°
E 29.193421°		 ← 300.58 m → N 10.155449°
E 29.196167°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
N 10.152746°
E 29.193421°		 ← 300.58 m →
90 349 m²		 N 10.152746°
E 29.196167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581096649169922 y=0.471645355224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581096649169922 × 217)
    floor (0.581096649169922 × 131072)
    floor (76165.5)     		tx = 76165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471645355224609 × 217)
    floor (0.471645355224609 × 131072)
    floor (61819.5)     		ty = 61819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76165 / 61819 ti = "17/76165/61819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76165/61819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76165 ÷ 217
    76165 ÷ 131072     		x = 0.581092834472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61819 ÷ 217
    61819 ÷ 131072     		y = 0.471641540527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581092834472656 × 2 - 1) × π
    0.162185668945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.50952131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471641540527344 × 2 - 1) × π
    0.0567169189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.178181455887749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50952131} λ = 0.50952131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.178181455887749))-π/2
    2×atan(1.19504214899591)-π/2
    2×0.874021180785037-π/2
    1.74804236157007-1.57079632675     		φ = 0.17724603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50952131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.193421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17724603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.155449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76165 KachelY 61819 0.50952131 0.17724603 29.193421 10.155449
    Oben rechts KachelX + 1 76166 KachelY 61819 0.50956924 0.17724603 29.196167 10.155449
    Unten links KachelX 76165 KachelY + 1 61820 0.50952131 0.17719885 29.193421 10.152746
    Unten rechts KachelX + 1 76166 KachelY + 1 61820 0.50956924 0.17719885 29.196167 10.152746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17724603-0.17719885) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dl = 300.58378000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17724603-0.17719885) × R
    4.71800000000078e-05 × 6371000     		dr = 300.58378000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50952131-0.50956924) × cos(0.17724603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.984333003333743 × 6371000     		do = 300.577924094173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50952131-0.50956924) × cos(0.17719885) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.984341320988527 × 6371000     		du = 300.580463990122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17724603)-sin(0.17719885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984333003333743-0.984341320988527)×R²
    abs(0.50956924-0.50952131)×8.31765478415125e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.31765478415125e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.31765478415125e-06×40589641000000     		ar = 90349.2303513019m²