Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76163 / 61821
↖ ↑ ↗
← N 10.150042°
E 29.187927°		 ← 300.65 m → N 10.150042°
E 29.190674°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
N 10.147339°
E 29.187927°		 ← 300.65 m →
90 370 m²		 N 10.147339°
E 29.190674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61821 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581081390380859 y=0.471660614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581081390380859 × 217)
    floor (0.581081390380859 × 131072)
    floor (76163.5)     		tx = 76163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471660614013672 × 217)
    floor (0.471660614013672 × 131072)
    floor (61821.5)     		ty = 61821
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76163 / 61821 ti = "17/76163/61821"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76163/61821.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76163 ÷ 217
    76163 ÷ 131072     		x = 0.581077575683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61821 ÷ 217
    61821 ÷ 131072     		y = 0.471656799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581077575683594 × 2 - 1) × π
    0.162155151367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.50942543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471656799316406 × 2 - 1) × π
    0.0566864013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.178085582088509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50942543} λ = 0.50942543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.178085582088509))-π/2
    2×atan(1.19492758125695)-π/2
    2×0.873973994513946-π/2
    1.74794798902789-1.57079632675     		φ = 0.17715166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50942543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.187927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17715166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.150042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76163 KachelY 61821 0.50942543 0.17715166 29.187927 10.150042
    Oben rechts KachelX + 1 76164 KachelY 61821 0.50947337 0.17715166 29.190674 10.150042
    Unten links KachelX 76163 KachelY + 1 61822 0.50942543 0.17710448 29.187927 10.147339
    Unten rechts KachelX + 1 76164 KachelY + 1 61822 0.50947337 0.17710448 29.190674 10.147339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17715166-0.17710448) × R
    4.717999999998e-05 × 6371000     		dl = 300.583779999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17715166-0.17710448) × R
    4.717999999998e-05 × 6371000     		dr = 300.583779999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50942543-0.50947337) × cos(0.17715166) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.98434963821448 × 6371000     		do = 300.645716670889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50942543-0.50947337) × cos(0.17710448) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.984357951486587 × 6371000     		du = 300.648255758174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17715166)-sin(0.17710448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98434963821448-0.984357951486587)×R²
    abs(0.50947337-0.50942543)×8.3132721073742e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.3132721073742e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.3132721073742e-06×40589641000000     		ar = 90369.6075786712m²