Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76162 / 61834
↖ ↑ ↗
← N 10.114894°
E 29.185181°		 ← 300.62 m → N 10.114894°
E 29.187927°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
N 10.112190°
E 29.185181°		 ← 300.62 m →
90 380 m²		 N 10.112190°
E 29.187927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581073760986328 y=0.471759796142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581073760986328 × 217)
    floor (0.581073760986328 × 131072)
    floor (76162.5)     		tx = 76162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471759796142578 × 217)
    floor (0.471759796142578 × 131072)
    floor (61834.5)     		ty = 61834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76162 / 61834 ti = "17/76162/61834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76162/61834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76162 ÷ 217
    76162 ÷ 131072     		x = 0.581069946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61834 ÷ 217
    61834 ÷ 131072     		y = 0.471755981445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581069946289062 × 2 - 1) × π
    0.162139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50937750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471755981445312 × 2 - 1) × π
    0.056488037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.177462402393448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50937750} λ = 0.50937750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177462402393448))-π/2
    2×atan(1.19418315862986)-π/2
    2×0.873667264337251-π/2
    1.7473345286745-1.57079632675     		φ = 0.17653820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50937750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.185181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17653820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.114894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76162 KachelY 61834 0.50937750 0.17653820 29.185181 10.114894
    Oben rechts KachelX + 1 76163 KachelY 61834 0.50942543 0.17653820 29.187927 10.114894
    Unten links KachelX 76162 KachelY + 1 61835 0.50937750 0.17649101 29.185181 10.112190
    Unten rechts KachelX + 1 76163 KachelY + 1 61835 0.50942543 0.17649101 29.187927 10.112190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17653820-0.17649101) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17653820-0.17649101) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50937750-0.50942543) × cos(0.17653820) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.984457560912864 × 6371000     		do = 300.615959248688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50937750-0.50942543) × cos(0.17649101) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.984465847448977 × 6371000     		du = 300.618489642178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17653820)-sin(0.17649101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984457560912864-0.984465847448977)×R²
    abs(0.50942543-0.50937750)×8.28653611273378e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.28653611273378e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.28653611273378e-06×40589641000000     		ar = 90379.8139970415m²