Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7616 / 5039
↖ ↑ ↗
← N 56.764767°
W 12.656250°		 ← 1 339.07 m → N 56.764767°
W 12.634277°		 →
↑
1 339.31 m
↓
↑
1 339.31 m
↓
N 56.752723°
W 12.656250°		 ← 1 339.50 m →
1 793 722 m²		 N 56.752723°
W 12.634277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464874267578125 y=0.307586669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464874267578125 × 214)
    floor (0.464874267578125 × 16384)
    floor (7616.5)     		tx = 7616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307586669921875 × 214)
    floor (0.307586669921875 × 16384)
    floor (5039.5)     		ty = 5039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7616 / 5039 ti = "14/7616/5039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7616/5039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7616 ÷ 214
    7616 ÷ 16384     		x = 0.46484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5039 ÷ 214
    5039 ÷ 16384     		y = 0.30755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46484375 × 2 - 1) × π
    -0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30755615234375 × 2 - 1) × π
    0.3848876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2091603560163
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22089323} λ = -0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2091603560163))-π/2
    2×atan(3.35067010111201)-π/2
    2×1.28076420961481-π/2
    2.56152841922963-1.57079632675     		φ = 0.99073209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99073209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.764767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7616 KachelY 5039 -0.22089323 0.99073209 -12.656250 56.764767
    Oben rechts KachelX + 1 7617 KachelY 5039 -0.22050974 0.99073209 -12.634277 56.764767
    Unten links KachelX 7616 KachelY + 1 5040 -0.22089323 0.99052187 -12.656250 56.752723
    Unten rechts KachelX + 1 7617 KachelY + 1 5040 -0.22050974 0.99052187 -12.634277 56.752723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99073209-0.99052187) × R
    0.000210219999999928 × 6371000     		dl = 1339.31161999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99073209-0.99052187) × R
    0.000210219999999928 × 6371000     		dr = 1339.31161999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22089323--0.22050974) × cos(0.99073209) × R
    0.000383489999999986 × 0.548077667340844 × 6371000     		do = 1339.0714629158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22089323--0.22050974) × cos(0.99052187) × R
    0.000383489999999986 × 0.548253489006567 × 6371000     		du = 1339.5010330099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99073209)-sin(0.99052187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.548077667340844-0.548253489006567)×R²
    abs(-0.22050974--0.22089323)×0.000175821665722276×R²
    0.000383489999999986×0.000175821665722276×6371000²
    0.000383489999999986×0.000175821665722276×40589641000000     		ar = 1793721.64100717m²