Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76159 / 61829
↖ ↑ ↗
← N 10.128413°
E 29.176941°		 ← 300.67 m → N 10.128413°
E 29.179687°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
N 10.125710°
E 29.176941°		 ← 300.67 m →
90 395 m²		 N 10.125710°
E 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581050872802734 y=0.471721649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581050872802734 × 217)
    floor (0.581050872802734 × 131072)
    floor (76159.5)     		tx = 76159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471721649169922 × 217)
    floor (0.471721649169922 × 131072)
    floor (61829.5)     		ty = 61829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76159 / 61829 ti = "17/76159/61829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76159/61829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76159 ÷ 217
    76159 ÷ 131072     		x = 0.581047058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61829 ÷ 217
    61829 ÷ 131072     		y = 0.471717834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581047058105469 × 2 - 1) × π
    0.162094116210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.50923368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471717834472656 × 2 - 1) × π
    0.0565643310546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.177702086891548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50923368} λ = 0.50923368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.177702086891548))-π/2
    2×atan(1.19446942012573)-π/2
    2×0.873785241461227-π/2
    1.74757048292245-1.57079632675     		φ = 0.17677416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50923368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.176941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17677416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.128413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76159 KachelY 61829 0.50923368 0.17677416 29.176941 10.128413
    Oben rechts KachelX + 1 76160 KachelY 61829 0.50928162 0.17677416 29.179687 10.128413
    Unten links KachelX 76159 KachelY + 1 61830 0.50923368 0.17672697 29.176941 10.125710
    Unten rechts KachelX + 1 76160 KachelY + 1 61830 0.50928162 0.17672697 29.179687 10.125710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17677416-0.17672697) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17677416-0.17672697) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50923368-0.50928162) × cos(0.17677416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98441609358985 × 6371000     		do = 300.666013852392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50923368-0.50928162) × cos(0.17672697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.984424391087666 × 6371000     		du = 300.668548121803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17677416)-sin(0.17672697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98441609358985-0.984424391087666)×R²
    abs(0.50928162-0.50923368)×8.29749781616762e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.29749781616762e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.29749781616762e-06×40589641000000     		ar = 90394.8633706401m²