Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76159 / 61822
↖ ↑ ↗
← N 10.147339°
E 29.176941°		 ← 300.65 m → N 10.147339°
E 29.179687°		 →
↑
300.65 m
↓
↑
300.65 m
↓
N 10.144635°
E 29.176941°		 ← 300.65 m →
90 390 m²		 N 10.144635°
E 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581050872802734 y=0.471668243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581050872802734 × 217)
    floor (0.581050872802734 × 131072)
    floor (76159.5)     		tx = 76159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471668243408203 × 217)
    floor (0.471668243408203 × 131072)
    floor (61822.5)     		ty = 61822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76159 / 61822 ti = "17/76159/61822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76159/61822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76159 ÷ 217
    76159 ÷ 131072     		x = 0.581047058105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61822 ÷ 217
    61822 ÷ 131072     		y = 0.471664428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581047058105469 × 2 - 1) × π
    0.162094116210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.50923368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471664428710938 × 2 - 1) × π
    0.056671142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.178037645188889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50923368} λ = 0.50923368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.178037645188889))-π/2
    2×atan(1.19487030150635)-π/2
    2×0.87395040107941-π/2
    1.74790080215882-1.57079632675     		φ = 0.17710448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50923368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.176941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17710448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.147339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76159 KachelY 61822 0.50923368 0.17710448 29.176941 10.147339
    Oben rechts KachelX + 1 76160 KachelY 61822 0.50928162 0.17710448 29.179687 10.147339
    Unten links KachelX 76159 KachelY + 1 61823 0.50923368 0.17705729 29.176941 10.144635
    Unten rechts KachelX + 1 76160 KachelY + 1 61823 0.50928162 0.17705729 29.179687 10.144635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17710448-0.17705729) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dl = 300.647490000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17710448-0.17705729) × R
    4.71900000000025e-05 × 6371000     		dr = 300.647490000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50923368-0.50928162) × cos(0.17710448) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.984357951486587 × 6371000     		do = 300.648255757478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50923368-0.50928162) × cos(0.17705729) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.984366264328897 × 6371000     		du = 300.650794713492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17710448)-sin(0.17705729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984357951486587-0.984366264328897)×R²
    abs(0.50928162-0.50923368)×8.3128423098433e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.3128423098433e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.3128423098433e-06×40589641000000     		ar = 90389.525148511m²