Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76158 / 61806
↖ ↑ ↗
← N 10.190594°
E 29.174194°		 ← 300.54 m → N 10.190594°
E 29.176941°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
N 10.187891°
E 29.174194°		 ← 300.55 m →
90 339 m²		 N 10.187891°
E 29.176941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581043243408203 y=0.471546173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581043243408203 × 217)
    floor (0.581043243408203 × 131072)
    floor (76158.5)     		tx = 76158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471546173095703 × 217)
    floor (0.471546173095703 × 131072)
    floor (61806.5)     		ty = 61806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76158 / 61806 ti = "17/76158/61806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76158/61806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76158 ÷ 217
    76158 ÷ 131072     		x = 0.581039428710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61806 ÷ 217
    61806 ÷ 131072     		y = 0.471542358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581039428710938 × 2 - 1) × π
    0.162078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50918575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471542358398438 × 2 - 1) × π
    0.056915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.178804635582809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50918575} λ = 0.50918575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.178804635582809))-π/2
    2×atan(1.19578710709518)-π/2
    2×0.874327872086242-π/2
    1.74865574417248-1.57079632675     		φ = 0.17785942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50918575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.174194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17785942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.190594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76158 KachelY 61806 0.50918575 0.17785942 29.174194 10.190594
    Oben rechts KachelX + 1 76159 KachelY 61806 0.50923368 0.17785942 29.176941 10.190594
    Unten links KachelX 76158 KachelY + 1 61807 0.50918575 0.17781224 29.174194 10.187891
    Unten rechts KachelX + 1 76159 KachelY + 1 61807 0.50923368 0.17781224 29.176941 10.187891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17785942-0.17781224) × R
    4.717999999998e-05 × 6371000     		dl = 300.583779999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17785942-0.17781224) × R
    4.717999999998e-05 × 6371000     		dr = 300.583779999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50918575-0.50923368) × cos(0.17785942) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.984224665594003 × 6371000     		do = 300.54484186204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50918575-0.50923368) × cos(0.17781224) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.984233011733682 × 6371000     		du = 300.547390456195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17785942)-sin(0.17781224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984224665594003-0.984233011733682)×R²
    abs(0.50923368-0.50918575)×8.34613967937159e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.34613967937159e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.34613967937159e-06×40589641000000     		ar = 90339.2876761152m²