Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76157 / 59981
↖ ↑ ↗
← N 15.080080°
E 29.171448°		 ← 294.91 m → N 15.080080°
E 29.174194°		 →
↑
294.85 m
↓
↑
294.85 m
↓
N 15.077428°
E 29.171448°		 ← 294.91 m →
86 954 m²		 N 15.077428°
E 29.174194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581035614013672 y=0.457622528076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581035614013672 × 217)
    floor (0.581035614013672 × 131072)
    floor (76157.5)     		tx = 76157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457622528076172 × 217)
    floor (0.457622528076172 × 131072)
    floor (59981.5)     		ty = 59981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76157 / 59981 ti = "17/76157/59981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76157/59981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76157 ÷ 217
    76157 ÷ 131072     		x = 0.581031799316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59981 ÷ 217
    59981 ÷ 131072     		y = 0.457618713378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581031799316406 × 2 - 1) × π
    0.162063598632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.50913781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.457618713378906 × 2 - 1) × π
    0.0847625732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.266289477389412
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50913781} λ = 0.50913781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.266289477389412))-π/2
    2×atan(1.30511280465741)-π/2
    2×0.91699668441853-π/2
    1.83399336883706-1.57079632675     		φ = 0.26319704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50913781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.171448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26319704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.080080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76157 KachelY 59981 0.50913781 0.26319704 29.171448 15.080080
    Oben rechts KachelX + 1 76158 KachelY 59981 0.50918575 0.26319704 29.174194 15.080080
    Unten links KachelX 76157 KachelY + 1 59982 0.50913781 0.26315076 29.171448 15.077428
    Unten rechts KachelX + 1 76158 KachelY + 1 59982 0.50918575 0.26315076 29.174194 15.077428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26319704-0.26315076) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dl = 294.849880000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26319704-0.26315076) × R
    4.62800000000096e-05 × 6371000     		dr = 294.849880000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50913781-0.50918575) × cos(0.26319704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965563143963932 × 6371000     		do = 294.907837761717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50913781-0.50918575) × cos(0.26315076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.965575183542888 × 6371000     		du = 294.911514959029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26319704)-sin(0.26315076))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965563143963932-0.965575183542888)×R²
    abs(0.50918575-0.50913781)×1.20395789556804e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.20395789556804e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.20395789556804e-05×40589641000000     		ar = 86954.082701251m²