Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76157 / 58499
↖ ↑ ↗
← N 18.971234°
E 29.171448°		 ← 288.84 m → N 18.971234°
E 29.174194°		 →
↑
288.86 m
↓
↑
288.86 m
↓
N 18.968636°
E 29.171448°		 ← 288.84 m →
83 434 m²		 N 18.968636°
E 29.174194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581035614013672 y=0.446315765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581035614013672 × 217)
    floor (0.581035614013672 × 131072)
    floor (76157.5)     		tx = 76157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446315765380859 × 217)
    floor (0.446315765380859 × 131072)
    floor (58499.5)     		ty = 58499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76157 / 58499 ti = "17/76157/58499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76157/58499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76157 ÷ 217
    76157 ÷ 131072     		x = 0.581031799316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58499 ÷ 217
    58499 ÷ 131072     		y = 0.446311950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581031799316406 × 2 - 1) × π
    0.162063598632812 × 3.1415926535     		Λ = 0.50913781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446311950683594 × 2 - 1) × π
    0.107376098632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.337331962626335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50913781} λ = 0.50913781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337331962626335))-π/2
    2×atan(1.40120413394564)-π/2
    2×0.950953411247184-π/2
    1.90190682249437-1.57079632675     		φ = 0.33111050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50913781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.171448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33111050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.971234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76157 KachelY 58499 0.50913781 0.33111050 29.171448 18.971234
    Oben rechts KachelX + 1 76158 KachelY 58499 0.50918575 0.33111050 29.174194 18.971234
    Unten links KachelX 76157 KachelY + 1 58500 0.50913781 0.33106516 29.171448 18.968636
    Unten rechts KachelX + 1 76158 KachelY + 1 58500 0.50918575 0.33106516 29.174194 18.968636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33111050-0.33106516) × R
    4.53399999999493e-05 × 6371000     		dl = 288.861139999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33111050-0.33106516) × R
    4.53399999999493e-05 × 6371000     		dr = 288.861139999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50913781-0.50918575) × cos(0.33111050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945681910484819 × 6371000     		do = 288.83559731425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50913781-0.50918575) × cos(0.33106516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945696649247924 × 6371000     		du = 288.840098911878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33111050)-sin(0.33106516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945681910484819-0.945696649247924)×R²
    abs(0.50918575-0.50913781)×1.47387631050933e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47387631050933e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47387631050933e-05×40589641000000     		ar = 83434.0300953614m²