Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76156 / 61810
↖ ↑ ↗
← N 10.179781°
E 29.168701°		 ← 300.62 m → N 10.179781°
E 29.171448°		 →
↑
300.58 m
↓
↑
300.58 m
↓
N 10.177077°
E 29.168701°		 ← 300.62 m →
90 361 m²		 N 10.177077°
E 29.171448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581027984619141 y=0.471576690673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581027984619141 × 217)
    floor (0.581027984619141 × 131072)
    floor (76156.5)     		tx = 76156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471576690673828 × 217)
    floor (0.471576690673828 × 131072)
    floor (61810.5)     		ty = 61810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76156 / 61810 ti = "17/76156/61810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76156/61810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76156 ÷ 217
    76156 ÷ 131072     		x = 0.581024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61810 ÷ 217
    61810 ÷ 131072     		y = 0.471572875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581024169921875 × 2 - 1) × π
    0.16204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50908987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471572875976562 × 2 - 1) × π
    0.056854248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.178612887984329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50908987} λ = 0.50908987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.178612887984329))-π/2
    2×atan(1.19555783977053)-π/2
    2×0.874233509128158-π/2
    1.74846701825632-1.57079632675     		φ = 0.17767069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50908987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.168701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17767069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.179781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76156 KachelY 61810 0.50908987 0.17767069 29.168701 10.179781
    Oben rechts KachelX + 1 76157 KachelY 61810 0.50913781 0.17767069 29.171448 10.179781
    Unten links KachelX 76156 KachelY + 1 61811 0.50908987 0.17762351 29.168701 10.177077
    Unten rechts KachelX + 1 76157 KachelY + 1 61811 0.50913781 0.17762351 29.171448 10.177077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17767069-0.17762351) × R
    4.717999999998e-05 × 6371000     		dl = 300.583779999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17767069-0.17762351) × R
    4.717999999998e-05 × 6371000     		dr = 300.583779999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50908987-0.50913781) × cos(0.17767069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.984258038774885 × 6371000     		do = 300.617739843571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50908987-0.50913781) × cos(0.17762351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.984266376150565 × 6371000     		du = 300.620286292708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17767069)-sin(0.17762351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984258038774885-0.984266376150565)×R²
    abs(0.50913781-0.50908987)×8.33737568028958e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.33737568028958e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.33737568028958e-06×40589641000000     		ar = 90361.1993046463m²