Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76156 / 58501
↖ ↑ ↗
← N 18.966039°
E 29.168701°		 ← 288.84 m → N 18.966039°
E 29.171448°		 →
↑
288.86 m
↓
↑
288.86 m
↓
N 18.963441°
E 29.168701°		 ← 288.85 m →
83 437 m²		 N 18.963441°
E 29.171448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581027984619141 y=0.446331024169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581027984619141 × 217)
    floor (0.581027984619141 × 131072)
    floor (76156.5)     		tx = 76156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446331024169922 × 217)
    floor (0.446331024169922 × 131072)
    floor (58501.5)     		ty = 58501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76156 / 58501 ti = "17/76156/58501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76156/58501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76156 ÷ 217
    76156 ÷ 131072     		x = 0.581024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58501 ÷ 217
    58501 ÷ 131072     		y = 0.446327209472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581024169921875 × 2 - 1) × π
    0.16204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50908987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446327209472656 × 2 - 1) × π
    0.107345581054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.337236088827095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50908987} λ = 0.50908987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337236088827095))-π/2
    2×atan(1.40106980162138)-π/2
    2×0.950908077481887-π/2
    1.90181615496377-1.57079632675     		φ = 0.33101983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50908987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.168701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33101983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.966039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76156 KachelY 58501 0.50908987 0.33101983 29.168701 18.966039
    Oben rechts KachelX + 1 76157 KachelY 58501 0.50913781 0.33101983 29.171448 18.966039
    Unten links KachelX 76156 KachelY + 1 58502 0.50908987 0.33097449 29.168701 18.963441
    Unten rechts KachelX + 1 76157 KachelY + 1 58502 0.50913781 0.33097449 29.171448 18.963441
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33101983-0.33097449) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dl = 288.861140000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33101983-0.33097449) × R
    4.53400000000048e-05 × 6371000     		dr = 288.861140000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50908987-0.50913781) × cos(0.33101983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945711382816869 × 6371000     		do = 288.844598923076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50908987-0.50913781) × cos(0.33097449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945726117692206 × 6371000     		du = 288.84909933328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33101983)-sin(0.33097449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945711382816869-0.945726117692206)×R²
    abs(0.50913781-0.50908987)×1.47348753367638e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47348753367638e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47348753367638e-05×40589641000000     		ar = 83436.6301388162m²