Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76154 / 58502
↖ ↑ ↗
← N 18.963441°
E 29.163208°		 ← 288.85 m → N 18.963441°
E 29.165955°		 →
↑
288.80 m
↓
↑
288.80 m
↓
N 18.960844°
E 29.163208°		 ← 288.85 m →
83 420 m²		 N 18.960844°
E 29.165955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581012725830078 y=0.446338653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581012725830078 × 217)
    floor (0.581012725830078 × 131072)
    floor (76154.5)     		tx = 76154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446338653564453 × 217)
    floor (0.446338653564453 × 131072)
    floor (58502.5)     		ty = 58502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76154 / 58502 ti = "17/76154/58502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76154/58502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76154 ÷ 217
    76154 ÷ 131072     		x = 0.581008911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58502 ÷ 217
    58502 ÷ 131072     		y = 0.446334838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581008911132812 × 2 - 1) × π
    0.162017822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50899400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446334838867188 × 2 - 1) × π
    0.107330322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.337188151927475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50899400} λ = 0.50899400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337188151927475))-π/2
    2×atan(1.40100264028871)-π/2
    2×0.95088541006949-π/2
    1.90177082013898-1.57079632675     		φ = 0.33097449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50899400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.163208°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33097449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.963441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76154 KachelY 58502 0.50899400 0.33097449 29.163208 18.963441
    Oben rechts KachelX + 1 76155 KachelY 58502 0.50904194 0.33097449 29.165955 18.963441
    Unten links KachelX 76154 KachelY + 1 58503 0.50899400 0.33092916 29.163208 18.960844
    Unten rechts KachelX + 1 76155 KachelY + 1 58503 0.50904194 0.33092916 29.165955 18.960844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33097449-0.33092916) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dl = 288.797430000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33097449-0.33092916) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dr = 288.797430000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50899400-0.50904194) × cos(0.33097449) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945726117692206 × 6371000     		do = 288.849099333949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50899400-0.50904194) × cos(0.33092916) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.94574084737418 × 6371000     		du = 288.853598157965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33097449)-sin(0.33092916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945726117692206-0.94574084737418)×R²
    abs(0.50904194-0.50899400)×1.47296819739129e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.47296819739129e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.47296819739129e-05×40589641000000     		ar = 83419.5271841601m²