Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7615 / 4062
↖ ↑ ↗
← N 66.809221°
W 12.678223°		 ← 962.15 m → N 66.809221°
W 12.656250°		 →
↑
962.34 m
↓
↑
962.34 m
↓
N 66.800567°
W 12.678223°		 ← 962.49 m →
926 077 m²		 N 66.800567°
W 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464813232421875 y=0.247955322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464813232421875 × 214)
    floor (0.464813232421875 × 16384)
    floor (7615.5)     		tx = 7615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247955322265625 × 214)
    floor (0.247955322265625 × 16384)
    floor (4062.5)     		ty = 4062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7615 / 4062 ti = "14/7615/4062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7615/4062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7615 ÷ 214
    7615 ÷ 16384     		x = 0.46478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4062 ÷ 214
    4062 ÷ 16384     		y = 0.2479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22127673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2479248046875 × 2 - 1) × π
    0.504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58383516344666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22127673} λ = -0.22127673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58383516344666))-π/2
    2×atan(4.8736111104948)-π/2
    2×1.36841860173722-π/2
    2.73683720347443-1.57079632675     		φ = 1.16604088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22127673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.678223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16604088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.809221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7615 KachelY 4062 -0.22127673 1.16604088 -12.678223 66.809221
    Oben rechts KachelX + 1 7616 KachelY 4062 -0.22089323 1.16604088 -12.656250 66.809221
    Unten links KachelX 7615 KachelY + 1 4063 -0.22127673 1.16588983 -12.678223 66.800567
    Unten rechts KachelX + 1 7616 KachelY + 1 4063 -0.22089323 1.16588983 -12.656250 66.800567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16604088-1.16588983) × R
    0.00015104999999993 × 6371000     		dl = 962.339549999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16604088-1.16588983) × R
    0.00015104999999993 × 6371000     		dr = 962.339549999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22127673--0.22089323) × cos(1.16604088) × R
    0.000383500000000009 × 0.39379397915358 × 6371000     		do = 962.148362695412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22127673--0.22089323) × cos(1.16588983) × R
    0.000383500000000009 × 0.393932819628529 × 6371000     		du = 962.487588642785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16604088)-sin(1.16588983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39379397915358-0.393932819628529)×R²
    abs(-0.22089323--0.22127673)×0.000138840474949442×R²
    0.000383500000000009×0.000138840474949442×6371000²
    0.000383500000000009×0.000138840474949442×40589641000000     		ar = 926076.64942149m²