Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76146 / 56174
↖ ↑ ↗
← N 24.891420°
E 29.141235°		 ← 277.05 m → N 24.891420°
E 29.143982°		 →
↑
277.07 m
↓
↑
277.07 m
↓
N 24.888928°
E 29.141235°		 ← 277.06 m →
76 765 m²		 N 24.888928°
E 29.143982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580951690673828 y=0.428577423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580951690673828 × 217)
    floor (0.580951690673828 × 131072)
    floor (76146.5)     		tx = 76146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428577423095703 × 217)
    floor (0.428577423095703 × 131072)
    floor (56174.5)     		ty = 56174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76146 / 56174 ti = "17/76146/56174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76146/56174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76146 ÷ 217
    76146 ÷ 131072     		x = 0.580947875976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56174 ÷ 217
    56174 ÷ 131072     		y = 0.428573608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580947875976562 × 2 - 1) × π
    0.161895751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50861050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428573608398438 × 2 - 1) × π
    0.142852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.448785254242966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50861050} λ = 0.50861050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448785254242966))-π/2
    2×atan(1.56640824155517)-π/2
    2×1.00261677609527-π/2
    2.00523355219055-1.57079632675     		φ = 0.43443723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50861050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.141235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43443723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.891420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76146 KachelY 56174 0.50861050 0.43443723 29.141235 24.891420
    Oben rechts KachelX + 1 76147 KachelY 56174 0.50865844 0.43443723 29.143982 24.891420
    Unten links KachelX 76146 KachelY + 1 56175 0.50861050 0.43439374 29.141235 24.888928
    Unten rechts KachelX + 1 76147 KachelY + 1 56175 0.50865844 0.43439374 29.143982 24.888928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43443723-0.43439374) × R
    4.34900000000349e-05 × 6371000     		dl = 277.074790000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43443723-0.43439374) × R
    4.34900000000349e-05 × 6371000     		dr = 277.074790000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50861050-0.50865844) × cos(0.43443723) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.907107055810961 × 6371000     		do = 277.053843780744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50861050-0.50865844) × cos(0.43439374) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.907125359893043 × 6371000     		du = 277.059434318559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43443723)-sin(0.43439374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907107055810961-0.907125359893043)×R²
    abs(0.50865844-0.50861050)×1.83040820825875e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.83040820825875e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.83040820825875e-05×40589641000000     		ar = 76765.4100948954m²