Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76145 / 61751
↖ ↑ ↗
← N 10.339238°
E 29.138489°		 ← 300.40 m → N 10.339238°
E 29.141235°		 →
↑
300.46 m
↓
↑
300.46 m
↓
N 10.336536°
E 29.138489°		 ← 300.41 m →
90 259 m²		 N 10.336536°
E 29.141235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580944061279297 y=0.471126556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580944061279297 × 217)
    floor (0.580944061279297 × 131072)
    floor (76145.5)     		tx = 76145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471126556396484 × 217)
    floor (0.471126556396484 × 131072)
    floor (61751.5)     		ty = 61751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76145 / 61751 ti = "17/76145/61751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76145/61751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76145 ÷ 217
    76145 ÷ 131072     		x = 0.580940246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61751 ÷ 217
    61751 ÷ 131072     		y = 0.471122741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580940246582031 × 2 - 1) × π
    0.161880493164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.50856257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471122741699219 × 2 - 1) × π
    0.0577545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.181441165061913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50856257} λ = 0.50856257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.181441165061913))-π/2
    2×atan(1.19894399483886)-π/2
    2×0.875625036740416-π/2
    1.75125007348083-1.57079632675     		φ = 0.18045375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50856257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.138489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18045375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.339238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76145 KachelY 61751 0.50856257 0.18045375 29.138489 10.339238
    Oben rechts KachelX + 1 76146 KachelY 61751 0.50861050 0.18045375 29.141235 10.339238
    Unten links KachelX 76145 KachelY + 1 61752 0.50856257 0.18040659 29.138489 10.336536
    Unten rechts KachelX + 1 76146 KachelY + 1 61752 0.50861050 0.18040659 29.141235 10.336536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18045375-0.18040659) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dl = 300.45635999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18045375-0.18040659) × R
    4.71599999999905e-05 × 6371000     		dr = 300.45635999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50856257-0.50861050) × cos(0.18045375) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.983762356840641 × 6371000     		do = 300.403670321931m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50856257-0.50861050) × cos(0.18040659) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.983770819833598 × 6371000     		du = 300.40625459864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18045375)-sin(0.18040659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983762356840641-0.983770819833598)×R²
    abs(0.50861050-0.50856257)×8.46299295731434e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.46299295731434e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.46299295731434e-06×40589641000000     		ar = 90258.5815634302m²