Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76141 / 56167
↖ ↑ ↗
← N 24.908858°
E 29.127502°		 ← 277.01 m → N 24.908858°
E 29.130249°		 →
↑
277.01 m
↓
↑
277.01 m
↓
N 24.906367°
E 29.127502°		 ← 277.02 m →
76 737 m²		 N 24.906367°
E 29.130249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580913543701172 y=0.428524017333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580913543701172 × 217)
    floor (0.580913543701172 × 131072)
    floor (76141.5)     		tx = 76141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428524017333984 × 217)
    floor (0.428524017333984 × 131072)
    floor (56167.5)     		ty = 56167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76141 / 56167 ti = "17/76141/56167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76141/56167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76141 ÷ 217
    76141 ÷ 131072     		x = 0.580909729003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56167 ÷ 217
    56167 ÷ 131072     		y = 0.428520202636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580909729003906 × 2 - 1) × π
    0.161819458007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.50837082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428520202636719 × 2 - 1) × π
    0.142959594726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.449120812540306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50837082} λ = 0.50837082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.449120812540306))-π/2
    2×atan(1.5669339510358)-π/2
    2×1.00276895899568-π/2
    2.00553791799137-1.57079632675     		φ = 0.43474159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50837082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.127502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43474159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.908858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76141 KachelY 56167 0.50837082 0.43474159 29.127502 24.908858
    Oben rechts KachelX + 1 76142 KachelY 56167 0.50841876 0.43474159 29.130249 24.908858
    Unten links KachelX 76141 KachelY + 1 56168 0.50837082 0.43469811 29.127502 24.906367
    Unten rechts KachelX + 1 76142 KachelY + 1 56168 0.50841876 0.43469811 29.130249 24.906367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43474159-0.43469811) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dl = 277.011079999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43474159-0.43469811) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dr = 277.011079999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50837082-0.50841876) × cos(0.43474159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906978908681488 × 6371000     		do = 277.014704348254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50837082-0.50841876) × cos(0.43469811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.906997220558506 × 6371000     		du = 277.020297266843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43474159)-sin(0.43469811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906978908681488-0.906997220558506)×R²
    abs(0.50841876-0.50837082)×1.83118770178403e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83118770178403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83118770178403e-05×40589641000000     		ar = 76736.9170896462m²