Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7614 / 4238
↖ ↑ ↗
← N 65.238307°
W 12.700195°		 ← 1 023.33 m → N 65.238307°
W 12.678223°		 →
↑
1 023.50 m
↓
↑
1 023.50 m
↓
N 65.229102°
W 12.700195°		 ← 1 023.68 m →
1 047 560 m²		 N 65.229102°
W 12.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464752197265625 y=0.258697509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464752197265625 × 214)
    floor (0.464752197265625 × 16384)
    floor (7614.5)     		tx = 7614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258697509765625 × 214)
    floor (0.258697509765625 × 16384)
    floor (4238.5)     		ty = 4238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7614 / 4238 ti = "14/7614/4238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7614/4238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7614 ÷ 214
    7614 ÷ 16384     		x = 0.4647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4238 ÷ 214
    4238 ÷ 16384     		y = 0.2586669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4647216796875 × 2 - 1) × π
    -0.070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22166022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2586669921875 × 2 - 1) × π
    0.482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51634000878162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22166022} λ = -0.22166022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51634000878162))-π/2
    2×atan(4.55552147745576)-π/2
    2×1.35470978790005-π/2
    2.7094195758001-1.57079632675     		φ = 1.13862325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22166022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13862325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.238307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7614 KachelY 4238 -0.22166022 1.13862325 -12.700195 65.238307
    Oben rechts KachelX + 1 7615 KachelY 4238 -0.22127673 1.13862325 -12.678223 65.238307
    Unten links KachelX 7614 KachelY + 1 4239 -0.22166022 1.13846260 -12.700195 65.229102
    Unten rechts KachelX + 1 7615 KachelY + 1 4239 -0.22127673 1.13846260 -12.678223 65.229102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13862325-1.13846260) × R
    0.000160649999999984 × 6371000     		dl = 1023.5011499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13862325-1.13846260) × R
    0.000160649999999984 × 6371000     		dr = 1023.5011499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22166022--0.22127673) × cos(1.13862325) × R
    0.000383489999999986 × 0.41884506896623 × 6371000     		do = 1023.32846721683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22166022--0.22127673) × cos(1.13846260) × R
    0.000383489999999986 × 0.41899094303216 × 6371000     		du = 1023.68486889218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13862325)-sin(1.13846260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41884506896623-0.41899094303216)×R²
    abs(-0.22127673--0.22166022)×0.000145874065929474×R²
    0.000383489999999986×0.000145874065929474×6371000²
    0.000383489999999986×0.000145874065929474×40589641000000     		ar = 1047560.2540403m²