Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76135 / 55211
↖ ↑ ↗
← N 27.266837°
E 29.111023°		 ← 271.49 m → N 27.266837°
E 29.113770°		 →
↑
271.53 m
↓
↑
271.53 m
↓
N 27.264395°
E 29.111023°		 ← 271.49 m →
73 718 m²		 N 27.264395°
E 29.113770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580867767333984 y=0.421230316162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580867767333984 × 217)
    floor (0.580867767333984 × 131072)
    floor (76135.5)     		tx = 76135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421230316162109 × 217)
    floor (0.421230316162109 × 131072)
    floor (55211.5)     		ty = 55211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76135 / 55211 ti = "17/76135/55211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76135/55211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76135 ÷ 217
    76135 ÷ 131072     		x = 0.580863952636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55211 ÷ 217
    55211 ÷ 131072     		y = 0.421226501464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580863952636719 × 2 - 1) × π
    0.161727905273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.50808320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421226501464844 × 2 - 1) × π
    0.157546997070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.49494848857708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50808320} λ = 0.50808320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.49494848857708))-π/2
    2×atan(1.64041373683489)-π/2
    2×1.02334620619524-π/2
    2.04669241239047-1.57079632675     		φ = 0.47589609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50808320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.111023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47589609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.266837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76135 KachelY 55211 0.50808320 0.47589609 29.111023 27.266837
    Oben rechts KachelX + 1 76136 KachelY 55211 0.50813114 0.47589609 29.113770 27.266837
    Unten links KachelX 76135 KachelY + 1 55212 0.50808320 0.47585347 29.111023 27.264395
    Unten rechts KachelX + 1 76136 KachelY + 1 55212 0.50813114 0.47585347 29.113770 27.264395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47589609-0.47585347) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dl = 271.532019999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47589609-0.47585347) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dr = 271.532019999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50808320-0.50813114) × cos(0.47589609) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.888882548227976 × 6371000     		do = 271.487610066066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50808320-0.50813114) × cos(0.47585347) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.888902073140742 × 6371000     		du = 271.493573476996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47589609)-sin(0.47585347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888882548227976-0.888902073140742)×R²
    abs(0.50813114-0.50808320)×1.95249127655783e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95249127655783e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95249127655783e-05×40589641000000     		ar = 73718.3888058449m²