Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76133 / 55219
↖ ↑ ↗
← N 27.247304°
E 29.105530°		 ← 271.48 m → N 27.247304°
E 29.108276°		 →
↑
271.47 m
↓
↑
271.47 m
↓
N 27.244863°
E 29.105530°		 ← 271.48 m →
73 699 m²		 N 27.244863°
E 29.108276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580852508544922 y=0.421291351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580852508544922 × 217)
    floor (0.580852508544922 × 131072)
    floor (76133.5)     		tx = 76133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421291351318359 × 217)
    floor (0.421291351318359 × 131072)
    floor (55219.5)     		ty = 55219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76133 / 55219 ti = "17/76133/55219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76133/55219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76133 ÷ 217
    76133 ÷ 131072     		x = 0.580848693847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55219 ÷ 217
    55219 ÷ 131072     		y = 0.421287536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580848693847656 × 2 - 1) × π
    0.161697387695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.50798733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421287536621094 × 2 - 1) × π
    0.157424926757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.494564993380119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50798733} λ = 0.50798733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494564993380119))-π/2
    2×atan(1.63978476665701)-π/2
    2×1.0231757501307-π/2
    2.0463515002614-1.57079632675     		φ = 0.47555517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50798733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.105530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47555517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.247304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76133 KachelY 55219 0.50798733 0.47555517 29.105530 27.247304
    Oben rechts KachelX + 1 76134 KachelY 55219 0.50803526 0.47555517 29.108276 27.247304
    Unten links KachelX 76133 KachelY + 1 55220 0.50798733 0.47551256 29.105530 27.244863
    Unten rechts KachelX + 1 76134 KachelY + 1 55220 0.50803526 0.47551256 29.108276 27.244863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47555517-0.47551256) × R
    4.2610000000054e-05 × 6371000     		dl = 271.468310000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47555517-0.47551256) × R
    4.2610000000054e-05 × 6371000     		dr = 271.468310000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50798733-0.50803526) × cos(0.47555517) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889038684004381 × 6371000     		do = 271.478657296273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50798733-0.50803526) × cos(0.47551256) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889058191422456 × 6371000     		du = 271.484614121056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47555517)-sin(0.47551256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889038684004381-0.889058191422456)×R²
    abs(0.50803526-0.50798733)×1.95074180746602e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95074180746602e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95074180746602e-05×40589641000000     		ar = 73698.6608531292m²