Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7613 / 4101
↖ ↑ ↗
← N 66.469437°
W 12.722168°		 ← 975.45 m → N 66.469437°
W 12.700195°		 →
↑
975.59 m
↓
↑
975.59 m
↓
N 66.460663°
W 12.722168°		 ← 975.79 m →
951 808 m²		 N 66.460663°
W 12.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464691162109375 y=0.250335693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464691162109375 × 214)
    floor (0.464691162109375 × 16384)
    floor (7613.5)     		tx = 7613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.250335693359375 × 214)
    floor (0.250335693359375 × 16384)
    floor (4101.5)     		ty = 4101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7613 / 4101 ti = "14/7613/4101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7613/4101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7613 ÷ 214
    7613 ÷ 16384     		x = 0.46466064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4101 ÷ 214
    4101 ÷ 16384     		y = 0.25030517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.0706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22204372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25030517578125 × 2 - 1) × π
    0.4993896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.5688788507652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22204372} λ = -0.22204372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5688788507652))-π/2
    2×atan(4.80126224362188)-π/2
    2×1.36545343034969-π/2
    2.73090686069938-1.57079632675     		φ = 1.16011053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22204372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.722168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16011053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.469437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7613 KachelY 4101 -0.22204372 1.16011053 -12.722168 66.469437
    Oben rechts KachelX + 1 7614 KachelY 4101 -0.22166022 1.16011053 -12.700195 66.469437
    Unten links KachelX 7613 KachelY + 1 4102 -0.22204372 1.15995740 -12.722168 66.460663
    Unten rechts KachelX + 1 7614 KachelY + 1 4102 -0.22166022 1.15995740 -12.700195 66.460663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16011053-1.15995740) × R
    0.000153130000000168 × 6371000     		dl = 975.591230001069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16011053-1.15995740) × R
    0.000153130000000168 × 6371000     		dr = 975.591230001069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22204372--0.22166022) × cos(1.16011053) × R
    0.000383500000000009 × 0.399238192719525 × 6371000     		do = 975.450092650495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22204372--0.22166022) × cos(1.15995740) × R
    0.000383500000000009 × 0.399378584856342 × 6371000     		du = 975.793109739949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16011053)-sin(1.15995740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399238192719525-0.399378584856342)×R²
    abs(-0.22166022--0.22204372)×0.000140392136817213×R²
    0.000383500000000009×0.000140392136817213×6371000²
    0.000383500000000009×0.000140392136817213×40589641000000     		ar = 951807.879785994m²