Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7613 / 4063
↖ ↑ ↗
← N 66.800567°
W 12.722168°		 ← 962.49 m → N 66.800567°
W 12.700195°		 →
↑
962.66 m
↓
↑
962.66 m
↓
N 66.791909°
W 12.722168°		 ← 962.83 m →
926 710 m²		 N 66.791909°
W 12.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464691162109375 y=0.248016357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464691162109375 × 214)
    floor (0.464691162109375 × 16384)
    floor (7613.5)     		tx = 7613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248016357421875 × 214)
    floor (0.248016357421875 × 16384)
    floor (4063.5)     		ty = 4063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7613 / 4063 ti = "14/7613/4063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7613/4063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7613 ÷ 214
    7613 ÷ 16384     		x = 0.46466064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4063 ÷ 214
    4063 ÷ 16384     		y = 0.24798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46466064453125 × 2 - 1) × π
    -0.0706787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22204372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24798583984375 × 2 - 1) × π
    0.5040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58345166824969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22204372} λ = -0.22204372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58345166824969))-π/2
    2×atan(4.87174246237376)-π/2
    2×1.36834307937677-π/2
    2.73668615875355-1.57079632675     		φ = 1.16588983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22204372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.722168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16588983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.800567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7613 KachelY 4063 -0.22204372 1.16588983 -12.722168 66.800567
    Oben rechts KachelX + 1 7614 KachelY 4063 -0.22166022 1.16588983 -12.700195 66.800567
    Unten links KachelX 7613 KachelY + 1 4064 -0.22204372 1.16573873 -12.722168 66.791909
    Unten rechts KachelX + 1 7614 KachelY + 1 4064 -0.22166022 1.16573873 -12.700195 66.791909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16588983-1.16573873) × R
    0.000151100000000071 × 6371000     		dl = 962.65810000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16588983-1.16573873) × R
    0.000151100000000071 × 6371000     		dr = 962.65810000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22204372--0.22166022) × cos(1.16588983) × R
    0.000383500000000009 × 0.393932819628529 × 6371000     		do = 962.487588642785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22204372--0.22166022) × cos(1.16573873) × R
    0.000383500000000009 × 0.394071697069453 × 6371000     		du = 962.826904908329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16588983)-sin(1.16573873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393932819628529-0.394071697069453)×R²
    abs(-0.22166022--0.22204372)×0.000138877440923557×R²
    0.000383500000000009×0.000138877440923557×6371000²
    0.000383500000000009×0.000138877440923557×40589641000000     		ar = 926709.797895564m²