Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76129 / 55205
↖ ↑ ↗
← N 27.281485°
E 29.094544°		 ← 271.40 m → N 27.281485°
E 29.097290°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
N 27.279044°
E 29.094544°		 ← 271.40 m →
73 659 m²		 N 27.279044°
E 29.097290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580821990966797 y=0.421184539794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580821990966797 × 217)
    floor (0.580821990966797 × 131072)
    floor (76129.5)     		tx = 76129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421184539794922 × 217)
    floor (0.421184539794922 × 131072)
    floor (55205.5)     		ty = 55205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76129 / 55205 ti = "17/76129/55205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76129/55205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76129 ÷ 217
    76129 ÷ 131072     		x = 0.580818176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55205 ÷ 217
    55205 ÷ 131072     		y = 0.421180725097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580818176269531 × 2 - 1) × π
    0.161636352539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.50779558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421180725097656 × 2 - 1) × π
    0.157638549804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.4952361099748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50779558} λ = 0.50779558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4952361099748))-π/2
    2×atan(1.64088562278571)-π/2
    2×1.02347402859287-π/2
    2.04694805718574-1.57079632675     		φ = 0.47615173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50779558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.094544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47615173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.281485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76129 KachelY 55205 0.50779558 0.47615173 29.094544 27.281485
    Oben rechts KachelX + 1 76130 KachelY 55205 0.50784351 0.47615173 29.097290 27.281485
    Unten links KachelX 76129 KachelY + 1 55206 0.50779558 0.47610913 29.094544 27.279044
    Unten rechts KachelX + 1 76130 KachelY + 1 55206 0.50784351 0.47610913 29.097290 27.279044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47615173-0.47610913) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47615173-0.47610913) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50779558-0.50784351) × cos(0.47615173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888765401514523 × 6371000     		do = 271.395207200406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50779558-0.50784351) × cos(0.47610913) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888784926944977 × 6371000     		du = 271.401169525486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47615173)-sin(0.47610913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888765401514523-0.888784926944977)×R²
    abs(0.50784351-0.50779558)×1.9525430454248e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9525430454248e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9525430454248e-05×40589641000000     		ar = 73658.7167644514m²