Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76128 / 61664
↖ ↑ ↗
← N 10.574222°
E 29.091797°		 ← 300.24 m → N 10.574222°
E 29.094544°		 →
↑
300.20 m
↓
↑
300.20 m
↓
N 10.571522°
E 29.091797°		 ← 300.24 m →
90 133 m²		 N 10.571522°
E 29.094544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580814361572266 y=0.470462799072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580814361572266 × 217)
    floor (0.580814361572266 × 131072)
    floor (76128.5)     		tx = 76128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470462799072266 × 217)
    floor (0.470462799072266 × 131072)
    floor (61664.5)     		ty = 61664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76128 / 61664 ti = "17/76128/61664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76128/61664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76128 ÷ 217
    76128 ÷ 131072     		x = 0.580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61664 ÷ 217
    61664 ÷ 131072     		y = 0.470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580810546875 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470458984375 × 2 - 1) × π
    0.05908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.185611675328857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50774764} λ = 0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.185611675328857))-π/2
    2×atan(1.20395464429876)-π/2
    2×0.877675658946833-π/2
    1.75535131789367-1.57079632675     		φ = 0.18455499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18455499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.574222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76128 KachelY 61664 0.50774764 0.18455499 29.091797 10.574222
    Oben rechts KachelX + 1 76129 KachelY 61664 0.50779558 0.18455499 29.094544 10.574222
    Unten links KachelX 76128 KachelY + 1 61665 0.50774764 0.18450787 29.091797 10.571522
    Unten rechts KachelX + 1 76129 KachelY + 1 61665 0.50779558 0.18450787 29.094544 10.571522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18455499-0.18450787) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dl = 300.201520000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18455499-0.18450787) × R
    4.71200000000116e-05 × 6371000     		dr = 300.201520000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50774764-0.50779558) × cos(0.18455499) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.983018011347067 × 6371000     		do = 300.239003549505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50774764-0.50779558) × cos(0.18450787) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.983026657204508 × 6371000     		du = 300.241644216912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18455499)-sin(0.18450787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983018011347067-0.983026657204508)×R²
    abs(0.50779558-0.50774764)×8.64585744075885e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.64585744075885e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.64585744075885e-06×40589641000000     		ar = 90132.6016117233m²