Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76128 / 58472
↖ ↑ ↗
← N 19.041349°
E 29.091797°		 ← 288.71 m → N 19.041349°
E 29.094544°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
N 19.038753°
E 29.091797°		 ← 288.72 m →
83 344 m²		 N 19.038753°
E 29.094544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580814361572266 y=0.446109771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580814361572266 × 217)
    floor (0.580814361572266 × 131072)
    floor (76128.5)     		tx = 76128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446109771728516 × 217)
    floor (0.446109771728516 × 131072)
    floor (58472.5)     		ty = 58472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76128 / 58472 ti = "17/76128/58472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76128/58472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76128 ÷ 217
    76128 ÷ 131072     		x = 0.580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58472 ÷ 217
    58472 ÷ 131072     		y = 0.44610595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580810546875 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44610595703125 × 2 - 1) × π
    0.1077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.338626258916077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50774764} λ = 0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.338626258916077))-π/2
    2×atan(1.40301888141449)-π/2
    2×0.951565278653443-π/2
    1.90313055730689-1.57079632675     		φ = 0.33233423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33233423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.041349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76128 KachelY 58472 0.50774764 0.33233423 29.091797 19.041349
    Oben rechts KachelX + 1 76129 KachelY 58472 0.50779558 0.33233423 29.094544 19.041349
    Unten links KachelX 76128 KachelY + 1 58473 0.50774764 0.33228892 29.091797 19.038753
    Unten rechts KachelX + 1 76129 KachelY + 1 58473 0.50779558 0.33228892 29.094544 19.038753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33233423-0.33228892) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dl = 288.670010000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33233423-0.33228892) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dr = 288.670010000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50774764-0.50779558) × cos(0.33233423) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945283375941067 × 6371000     		do = 288.713874606978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50774764-0.50779558) × cos(0.33228892) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.945298157377443 × 6371000     		du = 288.718389238121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33233423)-sin(0.33228892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945283375941067-0.945298157377443)×R²
    abs(0.50779558-0.50774764)×1.47814363755661e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.47814363755661e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.47814363755661e-05×40589641000000     		ar = 83343.6887035917m²