Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76128 / 55213
↖ ↑ ↗
← N 27.261954°
E 29.091797°		 ← 271.50 m → N 27.261954°
E 29.094544°		 →
↑
271.47 m
↓
↑
271.47 m
↓
N 27.259513°
E 29.091797°		 ← 271.51 m →
73 704 m²		 N 27.259513°
E 29.094544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580814361572266 y=0.421245574951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580814361572266 × 217)
    floor (0.580814361572266 × 131072)
    floor (76128.5)     		tx = 76128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421245574951172 × 217)
    floor (0.421245574951172 × 131072)
    floor (55213.5)     		ty = 55213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76128 / 55213 ti = "17/76128/55213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76128/55213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76128 ÷ 217
    76128 ÷ 131072     		x = 0.580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55213 ÷ 217
    55213 ÷ 131072     		y = 0.421241760253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580810546875 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421241760253906 × 2 - 1) × π
    0.157516479492188 × 3.1415926535     		Φ = 0.49485261477784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50774764} λ = 0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.49485261477784))-π/2
    2×atan(1.64025647167653)-π/2
    2×1.0233035949859-π/2
    2.0466071899718-1.57079632675     		φ = 0.47581086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47581086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.261954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76128 KachelY 55213 0.50774764 0.47581086 29.091797 27.261954
    Oben rechts KachelX + 1 76129 KachelY 55213 0.50779558 0.47581086 29.094544 27.261954
    Unten links KachelX 76128 KachelY + 1 55214 0.50774764 0.47576825 29.091797 27.259513
    Unten rechts KachelX + 1 76129 KachelY + 1 55214 0.50779558 0.47576825 29.094544 27.259513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47581086-0.47576825) × R
    4.26099999999985e-05 × 6371000     		dl = 271.46830999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47581086-0.47576825) × R
    4.26099999999985e-05 × 6371000     		dr = 271.46830999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50774764-0.50779558) × cos(0.47581086) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.888921591858254 × 6371000     		do = 271.499534995736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50774764-0.50779558) × cos(0.47576825) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.88894110896183 × 6371000     		du = 271.505496021538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47581086)-sin(0.47576825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888921591858254-0.88894110896183)×R²
    abs(0.50779558-0.50774764)×1.951710357595e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.951710357595e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.951710357595e-05×40589641000000     		ar = 73704.3290569709m²