Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76128 / 54625
↖ ↑ ↗
← N 28.688178°
E 29.091797°		 ← 267.93 m → N 28.688178°
E 29.094544°		 →
↑
267.96 m
↓
↑
267.96 m
↓
N 28.685769°
E 29.091797°		 ← 267.94 m →
71 797 m²		 N 28.685769°
E 29.094544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580814361572266 y=0.416759490966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580814361572266 × 217)
    floor (0.580814361572266 × 131072)
    floor (76128.5)     		tx = 76128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416759490966797 × 217)
    floor (0.416759490966797 × 131072)
    floor (54625.5)     		ty = 54625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76128 / 54625 ti = "17/76128/54625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76128/54625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76128 ÷ 217
    76128 ÷ 131072     		x = 0.580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54625 ÷ 217
    54625 ÷ 131072     		y = 0.416755676269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580810546875 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416755676269531 × 2 - 1) × π
    0.166488647460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.523039511754433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50774764} λ = 0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523039511754433))-π/2
    2×atan(1.68714797020655)-π/2
    2×1.03574974687394-π/2
    2.07149949374788-1.57079632675     		φ = 0.50070317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50070317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.688178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76128 KachelY 54625 0.50774764 0.50070317 29.091797 28.688178
    Oben rechts KachelX + 1 76129 KachelY 54625 0.50779558 0.50070317 29.094544 28.688178
    Unten links KachelX 76128 KachelY + 1 54626 0.50774764 0.50066111 29.091797 28.685769
    Unten rechts KachelX + 1 76129 KachelY + 1 54626 0.50779558 0.50066111 29.094544 28.685769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50070317-0.50066111) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dl = 267.964259999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50070317-0.50066111) × R
    4.20599999999549e-05 × 6371000     		dr = 267.964259999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50774764-0.50779558) × cos(0.50070317) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.87724522730269 × 6371000     		do = 267.933272710837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50774764-0.50779558) × cos(0.50066111) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.877265417114702 × 6371000     		du = 267.939439199111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50070317)-sin(0.50066111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87724522730269-0.877265417114702)×R²
    abs(0.50779558-0.50774764)×2.01898120119059e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01898120119059e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01898120119059e-05×40589641000000     		ar = 71797.3673610434m²