Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 76128 / 54624
↖ ↑ ↗
← N 28.690588°
E 29.091797°		 ← 267.93 m → N 28.690588°
E 29.094544°		 →
↑
267.90 m
↓
↑
267.90 m
↓
N 28.688178°
E 29.091797°		 ← 267.93 m →
71 779 m²		 N 28.688178°
E 29.094544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580814361572266 y=0.416751861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580814361572266 × 217)
    floor (0.580814361572266 × 131072)
    floor (76128.5)     		tx = 76128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416751861572266 × 217)
    floor (0.416751861572266 × 131072)
    floor (54624.5)     		ty = 54624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76128 / 54624 ti = "17/76128/54624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76128/54624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76128 ÷ 217
    76128 ÷ 131072     		x = 0.580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54624 ÷ 217
    54624 ÷ 131072     		y = 0.416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580810546875 × 2 - 1) × π
    0.16162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50774764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416748046875 × 2 - 1) × π
    0.16650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.523087448654053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50774764} λ = 0.50774764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523087448654053))-π/2
    2×atan(1.68722884878796)-π/2
    2×1.03577077284025-π/2
    2.07154154568049-1.57079632675     		φ = 0.50074522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50774764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.091797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50074522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.690588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76128 KachelY 54624 0.50774764 0.50074522 29.091797 28.690588
    Oben rechts KachelX + 1 76129 KachelY 54624 0.50779558 0.50074522 29.094544 28.690588
    Unten links KachelX 76128 KachelY + 1 54625 0.50774764 0.50070317 29.091797 28.688178
    Unten rechts KachelX + 1 76129 KachelY + 1 54625 0.50779558 0.50070317 29.094544 28.688178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50074522-0.50070317) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dl = 267.9005500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50074522-0.50070317) × R
    4.20500000000157e-05 × 6371000     		dr = 267.9005500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50774764-0.50779558) × cos(0.50074522) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.877225040739587 × 6371000     		do = 267.927107214863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50774764-0.50779558) × cos(0.50070317) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.87724522730269 × 6371000     		du = 267.933272710837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50074522)-sin(0.50070317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877225040739587-0.87724522730269)×R²
    abs(0.50779558-0.50774764)×2.01865631029863e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01865631029863e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01865631029863e-05×40589641000000     		ar = 71778.6452632253m²