Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76121 / 55199
↖ ↑ ↗
← N 27.296130°
E 29.072571°		 ← 271.42 m → N 27.296130°
E 29.075317°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
N 27.293689°
E 29.072571°		 ← 271.42 m →
73 664 m²		 N 27.293689°
E 29.075317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580760955810547 y=0.421138763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580760955810547 × 217)
    floor (0.580760955810547 × 131072)
    floor (76121.5)     		tx = 76121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421138763427734 × 217)
    floor (0.421138763427734 × 131072)
    floor (55199.5)     		ty = 55199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76121 / 55199 ti = "17/76121/55199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76121/55199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76121 ÷ 217
    76121 ÷ 131072     		x = 0.580757141113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55199 ÷ 217
    55199 ÷ 131072     		y = 0.421134948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580757141113281 × 2 - 1) × π
    0.161514282226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.50741208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421134948730469 × 2 - 1) × π
    0.157730102539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.49552373137252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50741208} λ = 0.50741208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.49552373137252))-π/2
    2×atan(1.64135764448055)-π/2
    2×1.02360183414017-π/2
    2.04720366828034-1.57079632675     		φ = 0.47640734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50741208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.072571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47640734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.296130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76121 KachelY 55199 0.50741208 0.47640734 29.072571 27.296130
    Oben rechts KachelX + 1 76122 KachelY 55199 0.50746002 0.47640734 29.075317 27.296130
    Unten links KachelX 76121 KachelY + 1 55200 0.50741208 0.47636474 29.072571 27.293689
    Unten rechts KachelX + 1 76122 KachelY + 1 55200 0.50746002 0.47636474 29.075317 27.293689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47640734-0.47636474) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47640734-0.47636474) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50741208-0.50746002) × cos(0.47640734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888648210476329 × 6371000     		do = 271.416037284231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50741208-0.50746002) × cos(0.47636474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888667745584006 × 6371000     		du = 271.422003808949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47640734)-sin(0.47636474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888648210476329-0.888667745584006)×R²
    abs(0.50746002-0.50741208)×1.95351076766048e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95351076766048e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95351076766048e-05×40589641000000     		ar = 73664.3707150416m²