Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76120 / 56177
↖ ↑ ↗
← N 24.883945°
E 29.069824°		 ← 277.01 m → N 24.883945°
E 29.072571°		 →
↑
277.07 m
↓
↑
277.07 m
↓
N 24.881453°
E 29.069824°		 ← 277.02 m →
76 754 m²		 N 24.881453°
E 29.072571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580753326416016 y=0.428600311279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580753326416016 × 217)
    floor (0.580753326416016 × 131072)
    floor (76120.5)     		tx = 76120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428600311279297 × 217)
    floor (0.428600311279297 × 131072)
    floor (56177.5)     		ty = 56177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76120 / 56177 ti = "17/76120/56177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76120/56177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76120 ÷ 217
    76120 ÷ 131072     		x = 0.58074951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56177 ÷ 217
    56177 ÷ 131072     		y = 0.428596496582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58074951171875 × 2 - 1) × π
    0.1614990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50736415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428596496582031 × 2 - 1) × π
    0.142807006835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.448641443544106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50736415} λ = 0.50736415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448641443544106))-π/2
    2×atan(1.56618299148833)-π/2
    2×1.0025515482714-π/2
    2.00510309654281-1.57079632675     		φ = 0.43430677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50736415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.069824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43430677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.883945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76120 KachelY 56177 0.50736415 0.43430677 29.069824 24.883945
    Oben rechts KachelX + 1 76121 KachelY 56177 0.50741208 0.43430677 29.072571 24.883945
    Unten links KachelX 76120 KachelY + 1 56178 0.50736415 0.43426328 29.069824 24.881453
    Unten rechts KachelX + 1 76121 KachelY + 1 56178 0.50741208 0.43426328 29.072571 24.881453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43430677-0.43426328) × R
    4.34900000000349e-05 × 6371000     		dl = 277.074790000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43430677-0.43426328) × R
    4.34900000000349e-05 × 6371000     		dr = 277.074790000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50736415-0.50741208) × cos(0.43430677) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.907161958702201 × 6371000     		do = 277.01281724825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50736415-0.50741208) × cos(0.43426328) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.907180257637418 × 6371000     		du = 277.018405048254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43430677)-sin(0.43426328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907161958702201-0.907180257637418)×R²
    abs(0.50741208-0.50736415)×1.82989352167651e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.82989352167651e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.82989352167651e-05×40589641000000     		ar = 76754.0422978494m²