Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7612 / 4060
↖ ↑ ↗
← N 66.826520°
W 12.744140°		 ← 961.45 m → N 66.826520°
W 12.722168°		 →
↑
961.64 m
↓
↑
961.64 m
↓
N 66.817872°
W 12.744140°		 ← 961.78 m →
924 726 m²		 N 66.817872°
W 12.722168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.464630126953125 y=0.247833251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.464630126953125 × 214)
    floor (0.464630126953125 × 16384)
    floor (7612.5)     		tx = 7612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247833251953125 × 214)
    floor (0.247833251953125 × 16384)
    floor (4060.5)     		ty = 4060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7612 / 4060 ti = "14/7612/4060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7612/4060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7612 ÷ 214
    7612 ÷ 16384     		x = 0.464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4060 ÷ 214
    4060 ÷ 16384     		y = 0.247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22242721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247802734375 × 2 - 1) × π
    0.50439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58460215384058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22242721} λ = -0.22242721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58460215384058))-π/2
    2×atan(4.87735055727682)-π/2
    2×1.36856956661307-π/2
    2.73713913322613-1.57079632675     		φ = 1.16634281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22242721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16634281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.826520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7612 KachelY 4060 -0.22242721 1.16634281 -12.744140 66.826520
    Oben rechts KachelX + 1 7613 KachelY 4060 -0.22204372 1.16634281 -12.722168 66.826520
    Unten links KachelX 7612 KachelY + 1 4061 -0.22242721 1.16619187 -12.744140 66.817872
    Unten rechts KachelX + 1 7613 KachelY + 1 4061 -0.22204372 1.16619187 -12.722168 66.817872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16634281-1.16619187) × R
    0.000150939999999933 × 6371000     		dl = 961.638739999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16634281-1.16619187) × R
    0.000150939999999933 × 6371000     		dr = 961.638739999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22242721--0.22204372) × cos(1.16634281) × R
    0.000383489999999986 × 0.393516427536312 × 6371000     		do = 961.445155864648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22242721--0.22204372) × cos(1.16619187) × R
    0.000383489999999986 × 0.393655184849278 × 6371000     		du = 961.784169783905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16634281)-sin(1.16619187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393516427536312-0.393655184849278)×R²
    abs(-0.22204372--0.22242721)×0.000138757312965199×R²
    0.000383489999999986×0.000138757312965199×6371000²
    0.000383489999999986×0.000138757312965199×40589641000000     		ar = 924725.914479897m²