Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76118 / 56178
↖ ↑ ↗
← N 24.881453°
E 29.064331°		 ← 277.08 m → N 24.881453°
E 29.067078°		 →
↑
277.07 m
↓
↑
277.07 m
↓
N 24.878961°
E 29.064331°		 ← 277.08 m →
76 772 m²		 N 24.878961°
E 29.067078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580738067626953 y=0.428607940673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580738067626953 × 217)
    floor (0.580738067626953 × 131072)
    floor (76118.5)     		tx = 76118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428607940673828 × 217)
    floor (0.428607940673828 × 131072)
    floor (56178.5)     		ty = 56178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76118 / 56178 ti = "17/76118/56178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76118/56178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76118 ÷ 217
    76118 ÷ 131072     		x = 0.580734252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56178 ÷ 217
    56178 ÷ 131072     		y = 0.428604125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580734252929688 × 2 - 1) × π
    0.161468505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50726827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428604125976562 × 2 - 1) × π
    0.142791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.448593506644485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50726827} λ = 0.50726827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448593506644485))-π/2
    2×atan(1.56610791533095)-π/2
    2×1.00252980478624-π/2
    2.00505960957248-1.57079632675     		φ = 0.43426328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50726827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.064331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43426328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.881453°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76118 KachelY 56178 0.50726827 0.43426328 29.064331 24.881453
    Oben rechts KachelX + 1 76119 KachelY 56178 0.50731621 0.43426328 29.067078 24.881453
    Unten links KachelX 76118 KachelY + 1 56179 0.50726827 0.43421979 29.064331 24.878961
    Unten rechts KachelX + 1 76119 KachelY + 1 56179 0.50731621 0.43421979 29.067078 24.878961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43426328-0.43421979) × R
    4.34899999999794e-05 × 6371000     		dl = 277.074789999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43426328-0.43421979) × R
    4.34899999999794e-05 × 6371000     		dr = 277.074789999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50726827-0.50731621) × cos(0.43426328) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.907180257637418 × 6371000     		do = 277.076201502759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50726827-0.50731621) × cos(0.43421979) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.907198554856812 × 6371000     		du = 277.081789944532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43426328)-sin(0.43421979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907180257637418-0.907198554856812)×R²
    abs(0.50731621-0.50726827)×1.82972193939479e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.82972193939479e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.82972193939479e-05×40589641000000     		ar = 76771.6045655555m²