Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76115 / 56172
↖ ↑ ↗
← N 24.896402°
E 29.056091°		 ← 277.04 m → N 24.896402°
E 29.058838°		 →
↑
277.01 m
↓
↑
277.01 m
↓
N 24.893911°
E 29.056091°		 ← 277.05 m →
76 745 m²		 N 24.893911°
E 29.058838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580715179443359 y=0.428562164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580715179443359 × 217)
    floor (0.580715179443359 × 131072)
    floor (76115.5)     		tx = 76115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428562164306641 × 217)
    floor (0.428562164306641 × 131072)
    floor (56172.5)     		ty = 56172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76115 / 56172 ti = "17/76115/56172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76115/56172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76115 ÷ 217
    76115 ÷ 131072     		x = 0.580711364746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56172 ÷ 217
    56172 ÷ 131072     		y = 0.428558349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580711364746094 × 2 - 1) × π
    0.161422729492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.50712446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428558349609375 × 2 - 1) × π
    0.14288330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.448881128042206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50712446} λ = 0.50712446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448881128042206))-π/2
    2×atan(1.56655842626372)-π/2
    2×1.00266025911784-π/2
    2.00532051823569-1.57079632675     		φ = 0.43452419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50712446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.056091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43452419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.896402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76115 KachelY 56172 0.50712446 0.43452419 29.056091 24.896402
    Oben rechts KachelX + 1 76116 KachelY 56172 0.50717240 0.43452419 29.058838 24.896402
    Unten links KachelX 76115 KachelY + 1 56173 0.50712446 0.43448071 29.056091 24.893911
    Unten rechts KachelX + 1 76116 KachelY + 1 56173 0.50717240 0.43448071 29.058838 24.893911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43452419-0.43448071) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dl = 277.011079999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43452419-0.43448071) × R
    4.34799999999846e-05 × 6371000     		dr = 277.011079999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50712446-0.50717240) × cos(0.43452419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.907070450919355 × 6371000     		do = 277.042663703996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50712446-0.50717240) × cos(0.43448071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.907088754222588 × 6371000     		du = 277.04825400393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43452419)-sin(0.43448071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907070450919355-0.907088754222588)×R²
    abs(0.50717240-0.50712446)×1.83033032332691e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83033032332691e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83033032332691e-05×40589641000000     		ar = 76744.6617782752m²