Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 76111 / 59696
↖ ↑ ↗
← N 15.834536°
E 29.045105°		 ← 293.84 m → N 15.834536°
E 29.047852°		 →
↑
293.77 m
↓
↑
293.77 m
↓
N 15.831894°
E 29.045105°		 ← 293.84 m →
86 320 m²		 N 15.831894°
E 29.047852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 76111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580684661865234 y=0.455448150634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580684661865234 × 217)
    floor (0.580684661865234 × 131072)
    floor (76111.5)     		tx = 76111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455448150634766 × 217)
    floor (0.455448150634766 × 131072)
    floor (59696.5)     		ty = 59696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 76111 / 59696 ti = "17/76111/59696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/76111/59696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 76111 ÷ 217
    76111 ÷ 131072     		x = 0.580680847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59696 ÷ 217
    59696 ÷ 131072     		y = 0.4554443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580680847167969 × 2 - 1) × π
    0.161361694335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.50693271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4554443359375 × 2 - 1) × π
    0.089111328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.279951493781128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50693271} λ = 0.50693271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.279951493781128))-π/2
    2×atan(1.3230656338697)-π/2
    2×0.923580555498118-π/2
    1.84716111099624-1.57079632675     		φ = 0.27636478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50693271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.045105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27636478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.834536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 76111 KachelY 59696 0.50693271 0.27636478 29.045105 15.834536
    Oben rechts KachelX + 1 76112 KachelY 59696 0.50698065 0.27636478 29.047852 15.834536
    Unten links KachelX 76111 KachelY + 1 59697 0.50693271 0.27631867 29.045105 15.831894
    Unten rechts KachelX + 1 76112 KachelY + 1 59697 0.50698065 0.27631867 29.047852 15.831894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27636478-0.27631867) × R
    4.61099999999881e-05 × 6371000     		dl = 293.766809999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27636478-0.27631867) × R
    4.61099999999881e-05 × 6371000     		dr = 293.766809999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50693271-0.50698065) × cos(0.27636478) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.962053699596455 × 6371000     		do = 293.835963119473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50693271-0.50698065) × cos(0.27631867) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.962066280156731 × 6371000     		du = 293.839805546405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27636478)-sin(0.27631867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.962053699596455-0.962066280156731)×R²
    abs(0.50698065-0.50693271)×1.25805602754214e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.25805602754214e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.25805602754214e-05×40589641000000     		ar = 86319.8179528841m²